怎样培养学生的数学建模能力

青岛市经济技术开发区第八中学   史金海

所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设后，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构。数学中的各种基本概念，都是以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型。举个简单的例子，方程（组）就是一个数学模型，很多数学问题甚至实际问题都可以转化为方程（组）来解决。而通过对问题数学化，模型构建，求解检验，使问题获得解决的方法称之为数学模型方法。我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思想方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。

一、初中学生解决实际应用问题的难点

1.缺乏解决实际问题的信心

与纯数学问题相比，数学实际问题的文字叙述更加语言化，更加贴近现实生活，题目也比较长，数量也比较多，数量关系显得分散隐蔽。因此，面对一大堆非形式化的材料，许多学生常感到很茫然，不知如何下手，产生惧怕数学应用题的心理。具体表现在：在信息的吸收过程中，受应用题中提供信息的次序、过多的干扰语句的影响，许多学生读不懂题意只好放弃；在信息加工过程中，受学生自身阅读分析能力以及数学基础知识掌握程度的影响，许多学生缺乏把握应用题的整体数学结构，并对全立体结构的信息作分层面的线性剖析的能力。即使能读懂题意，也无法解题；在信息提炼过程中，受学生数学语言转换能力的影响，许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来，缺乏把实际问题转换成数学问题的转译能力。

数学建模问题是用数学知识和数学方法解决实际生活中各种各样的问题，是一种创造性的劳动，涉及各种心理活动。心理学研究表明，良好的心理品质是创造性劳动的动力因素和基本条件，它主要包括以下要素：自觉的创新意识，强烈的好奇心和求知欲，积极稳定的情感，顽强的毅力和独立的个性，强烈而明确的价值观，有效的组织知识。许多学生由于不具备以上良好的心理品质，因而对解决实际问题缺乏应有的信心。

2.对实际问题中一些名词术语感到生疏

由于数学应用题中往往有许多其他知识领域的名词术语，而学生从小到大一直生长在学校，与外界接触较少，对这些名词术语感到很陌生，不知其意，从而就无法读懂题，更无法正确理解题意，比如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率、移动电话的收费标准等概念，这些概念的基本意思都没搞懂。如果涉及这些概念的实际问题就谈不上如何去理解了，更谈不上解决问题。

3.对数据处理缺乏适当的方法

许多实际问题中涉及的数据多且杂乱，学生面对如此多而杂乱的数据感到无从下手，不知应把哪个数据作为思维起点，从而找不到解决问题的突破口。

二、用数学建模解决实际问题的要点及方法

1.根据经验，解决一个实际问题重点要过好三关：事理关：读懂题意，知道讲的是什么问题；文理关，需要将“问题情景”的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系；数理关，在构建数学模型的过程中，要求学生具有数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题转化。总之，实际应用问题的难点是：问题情景的数学化。因此，必须强化训练学生的阅读理解语言的能力、分析问题的能力和数学抽象化能力。这样才能剥去“实际应用问题”的神秘面纱，还学生数学真面目。

2.数学建模遵循如下程式

①审题：审题是建模的起步，审题分为读懂和加深理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系。②建模：把实际问题主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；③解模：把数学问题化为常规问题，选择合适的数学方法求解；④检验：对求解的结果进行验证或评估，对错误加以调节，或将结果应用于现实，作出解释或预测。

三、克服数学建模困难的对策

针对学生解决实际应用问题的困难以及解实际应用问题的思路和方法，我认为在平时的应用题教学中应重视对学生进行数学应用意识的培养。如数学语言、数学阅读理解等要有计划、有针对性地训练和培养，具体地讲，应抓好以下几个方面的教学：　

1.着力培养学生的自信心

教师在教学中如果注意联系身边的事物，让学生体验数学，并尝到成功的乐趣，对激发学生的数学兴趣，培养学生的数学应用意识以及解决实际问题的自信心是非常重要的。例如：我曾经安排学生个人或小组到银行去调查储蓄存款利息计算方法，让学生学会选择储蓄存款的最佳期限。假设向银行存款1000元，试计算5年后可得的利息金额。存款方式为：（1）5年定期，整存整取；（2）1年定期，每年到期后本息转存；（3）先存2年定期，到期后本息转存3年定期；（4）半年定期，每次到期后本息转存。以上存款方式哪种所得利息最多？试用数学原理说明所得结论。

2.培养学生阅读理解能力，使学生逐步学会数学地阅读材料、了解材料

通过数学阅读，能促进学生语言水平的发展以及认知水平的发展，有助于学生探究能力和自学能力的培养；通过数学阅读，有助于学生更好地掌握数学。前苏联著名数学教育家斯托利亚尔指出“数学教学也就是数学语言的教学”。因此，从语言学习的角度讲，数学教学也必须重视数学阅读。作为数学教师，不仅要重视培养学生的阅读能力，还要注重教给学生科学有效的阅读方法，让学生认识到数学阅读的重要性，使学生体验到数学阅读的乐趣及对学习的益处。从而在兴趣和利益的驱动下自觉主动地进行数学阅读。

具体地讲，强化阅读能力的培养，教学时要注意以下几个方面：（1）让学生学会说题。所谓说题，就是让学生通过阅读题目后，进行分析思考，说出题目提供的信息条件、现象过程、解题思路及应采用的规律方法等等。教学中可让学生通览全题说题目的要素，也可让学生剖析字句说题目的条件，还可让学生形成解题思路后说解题步骤；（2）组织适当的课堂探究交流。课堂探究交流常常需要教师给出一个中心议题或所要解决的问题，学生在独立思考的基础上，以小组或班级的形式围绕议题发表见解、互相讨论。实践证明，课堂探究交流为师生之间、同学之间的多向交流提供了一个很好的平台；探究交流对学生独立活动的自由度增大，可以运用数学语言进行提问、反驳、论证、收集材料、统计数据等多种活动并与别人的思想进行比较，以达到更深层次的理解和掌握。因此，课堂探究交流不仅适合培养学生的交流能力，还有助于激发学生的学习兴趣，增进对知识的理解。（3）创设写数学的机会。让学生“写数学”，就是要学生把他们学习的数学心得体会、反思和研究结果，用文字的形式表达出来，并进行交流。例如：可让学生写知识小结、解题反思、调查报告和小论文等。这样做不仅可以提高学生的数学写作、阅读能力和理解能力，而且可以进一步提高学生的数学学习水平与探索研究能力。

3.构建知识网络，强化从整体的角度选择思维起点的能力

数学实际问题最突出的特点就是数据多，变量符号（字母）多，数量关系隐蔽而且数据具有“生活实际”的本来面目并非“纯数学化”的数据。学生对数据的感悟能力较差，对已知所求之间的数量关系比较模糊，如果从局部入手，则头绪纷繁，不易突破，但若能从客观上进行整体分析，抓住问题的框架结构与本质关系，常能出奇制胜，找到解决问题的方法。具体地讲，可以运用结构数据表格的整合信息，理顺数量间的关系，从而建立相应的数学结构，凸显数学“建模”。

例如：在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：

甲同学说：二环路车流量每小时为10000辆。

乙同学说：四环路比三环路车流量每小时多2000辆。

丙同学说：三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍。

请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？

4.加强数学语言能力的培养

对学生数学语言能力的培养包括两个方面的内容：

一是掌握数学语言。包括：①接受——看（听）得懂，能识别、理解解释弄清数学问题的语言表达，并能转化为具体的数学思想，能用自己的语言复述、表达。②表达——写（讲）得出，能将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程用恰当的语言标准流畅地表达出来，并且在表达中名词术语规范、准确、合乎逻辑。

二是帮助学生掌握好非数学语言与数学语言之间、各种数字语言的互译转化工作。加强对学生数学语言能力的培养，主要做好以下两方面的工作：

首先，要加强语义、句法的教学。斯托利亚尔指出：“这两方面都很重要，如果只限于语义一种，那么学生将不会使用形式的数学工具，进而不会用它们解决问题。如果只限于句法一种，那么学生将不理解数学语言表达的意义，不能把非数学的问题转化为数学问题，他们的知识将是形式主义的、无益的。”

在教学中可以利用以下方法加强学生对语义、句法的理解：（1）借助于语文知识中句子的扩写或缩写来帮助理解。如“对顶角相等”可扩写成：“如果两角是对顶角，那么这两个角相等。”再如“连接两点的线段的长度叫这两点间的距离”，可先诱导学生找出句子的主、谓、宾语，再读缩句，即句子的主干，这样学生就加深了对“距离”的理解，“距离”是“长度”，是“正的数量”而不是“形”——线段。（2）借助于“打比方”帮助理解，如数学中的“直线”可比喻为孙悟空的“金箍棒”，既不失科学性，又能使学生印象深刻，理解透彻。（3）运用比较法帮助理解，如学习“二次根式”的加减运算时，与已学过的“整式”的加减运算作比较，得知相同点就是“合并”，不同点就是“同类二次根式”与“同类项”。（4）多角度理解。如相反数，从定义角度理解：分别求-3、-5、0的相反数，相反数是10的数是什么？从数轴的角度理解：数轴上什么样的两数互为相反数？从绝对值角度理解：符号、绝对值怎样的两数互为相反数？从运算角度理解：相加得0的两数互为相反数吗？通过这样的多角度强化理解。

其次，要加强数学语言的互译的训练。数学概念、定理、公式、法则等往往是通过一种语言表述的。而学生要真正理解和运用它们，则必须要能灵活运用三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）进行表述。例如，平面几何中的定理都是用文字语言表述的，但是证明时的论证需借助符号语言来表达，其间图形语言作为文字语言和符号语言的必要补充，为数学思维提供直观模型。因此，在平面几何的教学中必须注重对三种语言的转化训练，对书上的每一个定理都要求能够作出对应图形，并能用符号语言写出对应的几何译式。　

5.优化教学设计、教学策略

传统教学中，教学过程基本上由教师控制，教学设计只关注对传授——接受过程的优化，而很少关注改变学生学习方式，学生接受的只是一些数学结论，对数学问题是怎样提出的，概念是如何在具体情景中形成的，结论怎样探索和猜测到的，证明的思路和计算的想法是怎样得到的，结论的作用和意义是什么，很少关注，因而无法实现学生的数学学习由被动接受“结果”向主动积极构建“过程”的转化。一碰上实际问题，就茫然不知所措。为改变这一高耗低效的课堂，教学设计应注重创造问题情景，开发教学媒体，提供学习资源，优化学习环境。在指导学生学习策略上：一是变学生“仓库式”学习为“蜂蜜式”学习，二是变学生由知识学习为体验学习、发现学习。因此教学设计不仅要关注“基础知识”传授，更要关注如何向学生提供真实情境、模拟情境，向学生展现“春天的原野”。

6.开发教材潜能，创造性地用好教材

教材是教与学的依据，也是教学问题的题源。教材中的例题、习题是经过反复筛选精编而成的，看似寻常，实则内涵丰富。有不寻常的价值和应用功能，教师要充分发挥、挖掘教材中例题、习题的作用，在教与学中创造性地设置教学情景，并适时地“深挖洞”或“广积粮”，形成以问题为中心展开教学，使学生真正理解并掌握知识的产生、形成和发展过程。对例题、习题的教学中采取一题多解（多角度、多方位、多层次）的形式，容易的题精讲，旧题新讲，小题大讲（深入挖掘、一题多变、一题多解、一题多用）。如果老师教学时在处理上述问题原形时，不引导学生进行横向扩展、纵向延伸，学生在面对实际问题时是很难解决的。因此，教师要创造性地使用好教材中的例题、习题，在布置练习时要减少一些“死”的书面作业，增加一些“活”的实践性、开放性、探究性作业。对教材中的概念、公式、法则、定理不仅要求熟记，而且要弄清背景和来源，以及与其他知识的联系，注重教材中概念、公式、法则、定理的提出、知识的形成，发展过程、解题思路的探索过程，解题规律和方法的概括过程，为学生创建解决实际问题的基石，搭建登高望远的平台。　

综上所述，培养学生解决实际问题的能力，关键是要培养学生的建模能力，即把实际问题转化为纯数学问题的能力，而提高这一能力，需要教师平时对学生进行长时间的启发、引导、点拨和不断地探究、反思、思维碰撞、纠错磨炼。在数学教学中构建学生的数学建模意识与素质教学所要求的培养学生的创造性思维能力是相辅相成、密不可分的。要真正培养学生的创新能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学。我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性、培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主活动，自觉地在学习过程中培养数学建模意识，只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步，也只有这样才能真正提高学生的创新能力，使学生学到有用的数学。我们相信：大力渗透“建模教学”必将为中学数学课堂教学改革开拓一条新路，也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台。

（《山东教育》2015年1、2月第5、6期）