例谈数学教学中的“思维延伸”

山东省海阳市育才中学   徐小红

教育是顺势而为后的静待花开，切不可揠苗助长，作为数学的“灵魂”———思维，亦是如此，重在“延伸”。但在实际教学中，部分教师往往忽视学生思维的延伸，导致教师教得累，学生学得辛苦，效果却不尽如人意。如何引导学生思维自然延伸、走向深入呢？笔者认为应做好以下几点。

一、“三注重”的教学设计拓宽思维广度

（一）注重知识的追根溯源。主体的认识是有开端的，正所谓有始才有终，对知识的追根溯源有助于对事物本质的理解。而部分教师在教学过程中过多地关注了概念、定理的应用，忽视了其“从何而来”，导致学生只“知其然”而“不知其所以然”。勾股定理为什么叫“勾股”？可能很多学生并不清楚。因此，教师要重视对知识背景的补充。例如在《勾股定理》这一章，笔者向学生介绍：由于古代农业生产的需要，中国很早就开始了天文观测，可追溯至9000年前的贾湖文化。古人通过“立表测影”确定时节安排生产。最早“测影”测的就是人自身的影子，原始的表名“髀”即人的“股骨”，“立表测影”时，代表“表”的“股”垂直于地面，表影长度为日影勾画出的“勾”，表顶和影端的连线形成了“弦”，三者构成了一个直角三角形。因此，勾股定理是我国远古人民在长期立表测影观测与计算中发现的规律，最早由周朝的商高提出，比毕达哥拉斯定理早500多年……让学生明白其渊源。教学时，适时补充中国数学发展史的相关内容，可以延伸学生的思维，增强学生的文化自信。

（二）注重知识的意义关联。《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出，“设计体现结构化特征的课程内容”，即课堂教学目标应由逐个的知识点的了解、识记，转变为重视知识的关联、整合、重组。应构建体现学科本质，能够支撑未来学习以及在真实情境下便于迁移、创新的结构化知识体系。也就是说，我们现在单元学习要变过去的“分—总”为“总—分—总”。那么，开始的“总”以什么形式把本章的全貌呈现给学生呢？部分教师把知识点罗列呈现，但这样学生是难以理解的，毫无意义。结构化的关键是构建知识间的意义关联。例如《圆》这一单元，笔者利用圆与数学各元素之间的关联，设计了“圆找朋友”来呈现单元的全貌：圆找到点，引出点和圆的位置关系；点变成线，引出直线和圆的位置关系；找到线段，引出对称性和垂径定理；找到角，引出圆周角和圆心角；找到三角形，引出三角形外接圆和内切圆；找到四边形，引出圆内接四边形；找到正多边形，引出正多边形和圆；然后又找到计算这位“老朋友”，类比圆的周长，引出弧长公式；类比圆的面积，引出扇形面积公式；最后类比圆柱，引出圆锥的侧面积公式。再下沉到课时学习，在课时学习中，通过“上联下引”进一步系统丰富单元的“内容结构”。例如：通过“垂径定理”“知二推三”中的“垂直平分弦的直线必过圆心”关联出“确定圆的条件”，其中的“用尺规画圆”又能引出三角形外接圆；“弦所对圆周角”的分类讨论，引出圆内接四边形等。

（三）注重大概念的统领。学科大概念是指能够解释和预测较大范围内的事物和现象的学科知识的核心，以大概念统领可以更好地认识学科的本质、理解世界，进而实现在真实情境下，发现、提出、分析、解决问题。例如，学生提出这样的问题：“我家的狗生了两只小狗，那么一公一母的概率是多少？用树状图和表格法我知道，但为什么用列举法，答案为是错误的？”由“维度”这个大概念来统领，可从本质上理解并解决这个问题：我们前面学过的线和数轴是“一维”；平面图形和平面直角坐标系是“二维”；立体图形和空间直角坐标系是“三维”。受此启发迁移：生一只小狗是“一维”，用列举法；生两只小狗是“二维”，用表格或树状图法。

二、“四线串联”的教学策略增强思维厚度

（一）贯穿德育线。学科德育要充分体现学科的育人价值，既不能喧宾夺主，又不能生搬硬套，这就要求我们要深挖教材，徐徐图之，慢慢渗透。例如，学习圆锥时，笔者用AR相机、白板等向学生展示并介绍我国的火箭、导弹等生活中的类圆锥体，让学生感受数学应用价值的同时对“唯有祖国强大，才有岁月静好”深有感触；学习函数概念时，展示并介绍我国古人计时工具的变迁：日晷→漏壶→沙漏→香篆钟→水运仪象台（钟表的鼻祖）等，学生深刻体会函数概念的同时会感叹古人的智慧及中国科技史的源远流长，从而激发文化自信；在学习三角形的高时，高可以在三角形内部、外部或一条边上，进而延伸“分类讨论”数学思想的德育价值：遇到事情要有全局观，要多角度考虑问题，不偏执；在学习有理数乘方时，对比149=1与1.149≈106.718 957 163 3与0.949≈0.005 726 416 897，让学生感悟“积跬步以至千里，积怠惰以入深渊”的道理。

（二）贯穿情景线。“数学来源于生活，又服务于生活。”教师要注重创设真实情境，即情景线贯联，让学生有具身体验感，这样学习效果会更好。例如，《用树状图或表格求概率》这一课，笔者设计了一个大的教学情境，串联所有内容：宠物领养中心的一个名叫“乐乐”的狗生了一只小狗，那么生下小公狗的概率是多少？引出一次事件求概率，用列举法；如果生了两只小狗，那么是两只小母狗的概率是多少？引出二次事件求概率，表格和树状图法都可以，学生比较分析，从优选择；接着再问，如果生了三只小狗，那么是三只小公狗的概率是多少？引出三次事件求概率，只能用树状图法；如果三只小狗分别编号为1、2、3，你和同桌两人可任意领养一只，则你领养1号小狗，同桌领养2号小狗的概率是多少？引出不放回问题；如果把“领养小狗”改为“乘坐客车”呢？引出放回问题；最后你和同桌去参加配紫色游戏，引出“不等可能”事件转化为“等可能”事件问题。

（三）贯穿实践线。要创造时机，让学生“做”数学，从“做”中学，“做”中思。例如，在学习《直角三角形的边角关系》这一单元时，笔者设计了以下任务：一是让学生自制测倾器，以小组为单位测量“底部可到达”的旗杆的高度，引出并深度理解三角函数的概念。二是学习特殊角的三角函数和用计算器计算三角函数，以及用计算器求角。三是学习解直角三角形，并建立数学模型。四是测量“底部不可到达”的旗杆的高度。在测量旗杆的活动中，先让学生制作、测量、计算引出概念，学完新知识后再继续测量、计算、解决问题，虽然耗时较长、过程复杂，但学生的学习积极性明显比课堂学习要高许多，思维也更加活跃。

（四）贯穿思想方法线。在数学学习中，数学思想和方法是知识向能力转化的中介和桥梁，对学生思维延伸具有十分重要的作用，能变“学会”为“会学”。例如在复习《尺规作图》时，学生利用尺规作图会“作角的平分线”，但不会“过直线上或直线外一点作垂线”。因此，本节复习课，笔者用一般到特殊、类比、对比等数学思想方法，串联尺规作图相关联的几个基本图形，取得了良好效果。借助几何画板，先展示任意角的角平分线动态演示图，参数变成180°再演示，学生就会发现：这样就变成了“过直线上一点作直线的垂线”；再把这个点放在直线外，类比引出“过直线外一点作直线的垂线”；把点去掉，直线变成线段，对比异同引出“线段的垂直平分线”的作法。

三、“两问一思”的教学模式提升思维深度

（一）建构追问模式。在生生、师生互问互答环节中，依据教师的经验，当发现能深度延伸学生思维的契机时，教师要及时追问或引导学生追问。例如，复习反比例函数对称性时，教师可以追问：“关于直线y=x对称的两点坐标有什么关系？直线变成：y=-x呢？y=-x+5呢？y=-x+b呢？y=2x-3呢？y=kx+b呢？对比异同，你能发现什么规律？”引出求关于直线对称点的特殊及一般解法。“类比刚才的问题，你能提出什么问题？”生生互问互答：“如果关于x轴对称呢？y轴呢？直线x=1呢？直线y＝1呢？”教师继续追问：“直线变成点，你又能提出什么问题？”生答：“如果关于原点对称呢？点（-2，3）呢？点（a，b）呢？”进而又可以引出“中点公式”，这样步步深入，助力学生思维再延伸。

（二）建构问答式讲解模式。即通过设置循序渐进的有逻辑关系的“问题串”，引导学生由浅入深思考，进而自己解决问题。相较于普通的讲解法，这样会给学生留有思考的时间，思维自然延伸，从而把教师的“教”转化为学生的“思”。例如，讲解“田忌赛马随机获胜概率”这个问题时，可以先问学生：“同学们，这个问题和我们以前遇到的问题有什么异同？”生1：“毫无关联，无从下手。”生2：“已知量太多。”生3：“我们学过的方法（列举、表格和树状图法）都不好用。”再问：“依据题意，用你学过的方法能提出并解决什么问题？”生1：“齐王的马出场顺序有几种？”生2：“田忌的马出场顺序有几种？”生3：“用树状图法，生1和生2所提问题答案一样都是6种。”……再问：“假设齐王的马出场顺序为第1种时，田忌的马出场顺序有几种？田忌获胜的出场顺序有几种？”生回答：“6种，1种。”再问：“齐王的马出场顺序为第2种时，田忌的马出场顺序和获胜顺序分别有几种？与上面有什么关联吗？”生回答：“一样。”“以此类推，你发现什么规律？”生回答：“后面的情况都一样。”“这样共有几种情况？田忌获胜共有几种情况？田忌获胜的概率是多少？”学生自主解答，得出田忌获胜的概率为：=。通过一连串问题，教师一步步引导学生得出此类问题的解决策略是：用分类讨论和转化的数学思想，把不会的问题转化成已会问题。如此能引发学生深度思考，进而提升发现、提出、分析、解决问题的能力。

（三）建构反思模式。“数学是一个有机的整体，它像一个庞大的、多层次的、不断生长的、无限延伸的网络。数学家的工作，就是建立（寻找）新的节点和新的连接，整合众多的连接，来延伸这个网络。一旦遇到的问题与已有的结点或连接相关，那么所有的连接都可能发挥作用，为我们提供解决问题的理论、思路和方法。”基于数学学科的这个特点，将知识内化吸收变成自己的知识体系，对思维的延伸尤为重要。思维导图是一种激发思维增长的可视化工具。每节课让学生自己画出思维导图，不要求多么精美，贵在坚持。画思维导图的要求：一是注重导图的整体性，要与前面所学知识相关联，寻找或建立新的节点，把本节课的导图关联到整体导图中。二是提倡不照搬老师课堂构建的结构图，要加入自己的反思和归纳总结，自主思考、张扬个性。三是注重学生思维的延续性，倡导导图的可持续性，即要关注导图后期的整合、发现并解决的问题等。

作为数学教师，要始终以学生需求为导向，与时俱进地教有学科特色的数学：顺势延伸学生的思维，自然生长系统化、有深度、有广度、有厚度的数学思维，一以贯之，助推学生进入深度学习。

（《山东教育》2024年4月第11期）