小初衔接 统领数域

小初衔接   统领数域

——人教版《有理数》章起始课教学设计

山东省滨州市教育科学研究院    邢成云

山东省栖霞市实验中学       费祯红

有理数是小学已学过的算术数的自然生长，作为人教版教材，这一章又是整个初中学段的开篇和数式系统的起始，是孕育分类、归纳、类比、转化等思想方法的第一块基地，是打开运算新局面的锚点，它的开篇自然需要承载更多的功能。

一、资源统整

（一）课程标准中有关有理数的论述

1.内容要求

（1）理解负数的意义；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。

（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法。

（3）理解乘方的意义。

（4）掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。

（5）能运用有理数的运算解决简单问题。

2.学业要求

理解负数的意义，会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数；能借助数轴体会相反数和绝对值的意义，初步体会数形结合的思想方法；能比较有理数的大小，能求有理数的相反数和绝对值；会运用乘方的意义准确进行有理数的乘方运算；能熟练地对有理数进行加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主），理解有理数的运算律，能合理运用运算律简化运算，能运用有理数的运算解决简单问题。

课程标准从有理数的内容要求与学业要求两个维度进行了阐释，体现了教-学-评的一致性，基于内容对应给出学业要求，共同表达出有理数整个章节的学习目标。作为章起始课，要统领整个章节，厘清学习的脉络，统合起来思考定位，在确定好学习目标的基础上厘定教学内容。

（二）章前语与章头图的解读

章前语给出了三个问题，第一个是借助贴近生活的气温，出现了相反意义的量，展示了负数“-3”的含义，并通过温差摆出了有理数的减法运算；第二个通过增长正百分数、负百分数再次体现了相反意义的量；第三个问题，用收支情况仍然体现了相反意义的量，并涉及有理数的加法。统而概之，三个问题意在引领学生明确本章的主要内容是有理数的表示、大小比较和加、减运算，进而发展至乘、除、乘方等运算，是对小学算术数运算的延续。

章头图，一幅天安门的图片，渗透了数轴的直观，以此彰显数与形的结合；另外图片上的薄薄的一层雪衬托出章前语中的北京冬季，形成文图的呼应，让数学带上点生活的温度。

（三）现行教材内容

本章分成了5个节次。第一节是正数和负数；第二节是有理数；第三节是有理数的加减法；第四节是有理数的乘除法；第五节是有理数的乘方。其中第一、二节是概念部分，主要指向有理数的意义（性质）、分类、大小比较，借助数轴直观认识相反数与绝对值，形成数与形的结合，进而更加深刻地认识有理数的大小；后三节集中体现了有理数的运算和运算律，这是本章的核心内容，也是重点所在。另外，本章处处闪烁着“分类”思想和“转化”思想的光辉，处处透着归纳、概括、抽象等核心素养元素。

统合以上分析，对本章的学习整体规划如下：

第1课时：梳理数的发展历程，凸显出算术数的局限性，基于数学内部和生活现实引入负数，把小学的算术数扩充到有理数，通过对比猜想，建构起数的大厦，并把本章研究的思路明晰；

第2课时：借力生活经验学习数轴，并在学习数轴的基础上，研究绝对值和相反数；

第3课时：有理数的概念练习提升课（开放题立意，给出潜藏重要概念的一列数）；

第4课时：立足基础，研究有理数的加法运算及运算律；

第5课时：进一步熟悉有理数加法（含多个有理数），练习提升课；

第6课时：有理数的减法运算及加减混合运算；

第7课时：有理数的乘除运算及乘法的运算律；

第8课时：乘除混合运算，练习提升课；

第9课时：有理数的乘方运算及四则混合运算；

第10课时：近似数与科学记数法；

第11课时：小结复习（整体统摄复习课）；

第12课时：分层考查课；

第13课时：异步达标课。

二、第1课时整体教学

（一）教学目标

1.整理前两个学段学过的整数、分数（含小数）的知识，厘清学习的脉络，建构本章的知识框架，

2.掌握正数和负数的概念（抽象化定义），能区分两种相反意义的量，会用符号表示正数和负数，进一步获得有理数的概念，初步感受分类思想。

3.体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要，即在以用致学价值取向下，激发学习数学的兴趣；同时体会基于数学内部因需发展的必要性。

（二）教学重难点

教学重点：在厘清数的发展脉络的基础上，突出负数进入数域带来的一系列变化。

教学难点：进一步认识负数、建构本章学习的知识框架。

（三）教学过程设计

问题1：上一节已经对小学所学内容进行了梳理，并对初中的学习作了框架式展望。但有一个概念没有涉及，同学们知道是哪一个概念吗？

预设：负数。

问题2：关于负数，同学们有哪些认识？谁知道为什么引入负数？

预设：零下3℃记作-3，亏本5元可记作-5，输了4局球，可记作-4。反过来，-3可以表示实际意义的零下3℃、亏本3元、输了3局球等，因为数不够用了，从生活实际的需要和数学内部矛盾的需要两个角度引入负数。

在此理顺一下数的发展历程：从正整数，到自然数，当整数不够用时出现了分数，当这些数都不够用时引入了负数，这样数域就扩大为有理数，至此提出后续问题。

问题3：我们可以想一想，当有理数不够用时，承接有理数的认识，还应该有什么数出现？

预设：无理数。至此，新的数域出现了———实数。

追问：承接前面的猜想，当实数不够用时，应该出现什么数？

预设：虚数。这样，实数、虚数形成新的数域复数。

有无相生，实虚相补，得以充分展露，富有哲学意味，这就是数学的美妙所在。

明确：初中研究的数域到实数，7年级下学期学习实数，而复数要到高中学段去学习。

问题4：请同学们阅读第1页内容（章前语），并预测本章将学习什么内容？

预设：正数、负数、有理数等概念，有理数的大小比较及其运算等。

问题5：根据小学“数”的学习，设想一下以上知识学习的基本顺序？

预设：先学习有理数的有关概念，再学习有理数的运算。

教学说明：揭示学习顺序，渗透数式的一般路径。

问题6：章前语（1）北京冬季里的某一天气温为-3℃~3℃中，这里的3和-3的意义分别是什么？温差多少？

3表示零上3℃，-3表示零下3℃，温差是6℃，用算式表示就是：3-（-3）=6。

追问：这里的零上和零下是相反意义的量，你还能举出表示相反意义的量的例子吗？

预设：前进与后退、增多与减少、上升与下降……

追问：温差给出了什么运算？

预设：有理数的减法运算。

追问：既然有理数有减法运算，根据小学学过的运算设想一下，有理数这一章还要学习什么运算？

预设：加法运算、乘法运算、除法运算以及四则混合运算等。

教学说明：立足小学展望运算，也是小初衔接的一种体现。另外，若有学生提出平方、立方，也要给予肯定，也可以说明它们都属于一种新运算———乘方。

问题7：若上升6米记作+6米，那下降7米如何表示？请举出一些类似的例子。同位互助，一人提出问题，一人表示，交换进行。

问题8：至此，我们在小学学过负数的基础上对负数有了进一步的认识，能给正数、负数下一个定义吗？

预设：大于0的数叫正数；在一个正数前面加上一个“-”就表示负数。

教学说明：由于负数的定义建立在正数的基础之上，故要先对正数作界定；另外，若学生说小于0的数是负数，要给予充分肯定，因为这是揭示负数本质的认识，和教材给出的定义形成外在表征与内在本质的自洽，成为喻平教授提出的概念域之“负数的概念域”。

问题9：根据前面厘清的数的发展脉络，以及对正数、负数的认识，尝试给出有理数的定义。

预设：整数与分数的统称。

追问：尝试根据有理数的定义对有理数分类？

预设：（见图1）

教学说明：顺承问题8，学生很容易给出“正数、负数、零”的分类，若出现，可引导学生进一步规整，指出正数不仅有有理数，还有无理数，故严谨的说法是“正有理数、零、负有理数”。另外，分类过程中，学生的认识可能出现分歧，此时可通过追问调整学生的思维走向，基于定义和数的性质符号展开分类，最终形成规范的分类。

问题10：请同学们把这节课的知识梳理一下，看看我们学了什么，将要学习什么？以及我们如何获得了这些知识？

教学说明：根据教学进程，把关键词写在合适的位置上，最后师生一起梳理关键词，渐成结构性板书，知识的来龙去脉清晰可见，且通过如何获得认识的追问，把归纳、分类以及类比、猜想等基本活动经验、数学思想方法沉淀下来，以便成为后继学习的武器。

三、教学反思

（一）衔接小初，种下种子

在现实观课中笔者发现，很多初中教师把负数的概念当作全新的内容进行教学，无视学生在小学已经有了负数概念的学习基础，“旋而不升”现象明显；其实初中阶段“正数和负数”的教学是对小学阶段负数概念教学的拓展与延伸，它不再限定于生活情境中的负数以及描述性认识，更关注负数的实质与数学抽象化意义，不是简单的重复。基于这样不同的认知定位，笔者关注了学段特征，加强了小学与初中的衔接。认识到在前两个学段学习的基础上，为了顺应接受这个似新似故的数，首先对原有的数的结构进行梳理、调整，使得数的范围扩充到有理数，当然这一扩充既是现实生活的需要，也是数学自身发展的内在需要。通过与小学的衔接，对有理数进一步拓展，把无理数、实数、虚数、复数的种子也顺路种下，让学生初识数的全貌。另外，衔接还体现在类比上，类比小学对数的学习历程，把有理数的学习路径进行展望，获得发展性认识。

（二）统筹规划，统领数域

章起始课对整个单元统筹设计，使得整个学习“先整后分”“见木见林”，后续的每一“部分”都在“整体”系统中发生，犹如在学生脑海中先构建一张学习导游图，后续每课时的学习只需按图索骥、循序渐进具体探研即可。本节章起始课非同小可，它既是“有理数”一章的起始，也是初中（中学）学段整个数域的起始，同时也是对基于整个初中与小学衔接课《玩转数“9”   开放思维   勾勒全貌———记初中数学学段的开学第一课》的照应，是在其基础上进行的关联一致性设计。如此三重重任的起始课，更需要我们布好局，把有理数学习的基本路线拎出来，以期形成发展性数域学习的经验套路，为有效迁移蓄势蓄能。

 

 

（《山东教育》2023年1、2月第3、4期）