数学建模在实际问题中的应用

青岛市第三十三中学   张朋朋

教学过程中有很多与现实生活密切相关的问题，学生虽然已经具备了相应的数学知识，但仍然不能有效地解决。当我们需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，往往要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。我们可以把数学建模的过程大概归纳为建立模型、数学解答、模型检验三个基本步骤。下面结合几个实例来说明教学中部分常见的数学建模。

一、建立方程（组）、不等式（组）的模型

方程或不等式的思想，是分析数学问题中变量间的等量或不等量关系，构建方程（组）或不等式（组），利用它们的性质去分析、转换、解决问题。它们把许多实际问题抽象为数学语言去解决，两种模型既有区别又有联系。而且从数学理论上看，这些方程和不等式的解法都能解决得很完善，因此，运用这类思想方法构建模型是很实用、很有效的解决问题的途径。如一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若前面每人分4件，则最后一个人得到的玩具数不足3件。求出小朋友数。

如果学生仍然利用算术方法解决这个问题就会有些困难，主要问题在于玩具数和小朋友数是两个不定量，因此选择一种数学模型是本题的关键，我们发现题目中给出的两种情况分别是一个等量关系和不等关系，因此可以设小朋友共有x人，根据等量关系知道玩具数是（3x+4）个，然后结合不等关系建立不等式组的模型，从而得到如下不等式组：

3x+4-4（x-1）＞0，3x+4-4（x-1）＜3。

可得5＜x＜8。  

∵ x只能取正整数，∴ x=6，7。

即小朋友可能是6个人或7个人。

二、建立函数模型

函数是研究两个变量之间变化规律的重要数学模型，在现实生活中广泛应用，比如商场的利润与价格之间的关系、两种销售方案的优化选择问题、货物的调配问题等，这些问题都需要根据它们内在的量的关系建立函数关系式，再借助函数的性质去解决实际问题。在这类模型中，初中阶段主要以一次函数、二次函数为主。如某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元。经过协商，甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可以先免去一位游客的旅游费用，其余的游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？

该题的首要任务是要把实际问题转化为函数模型，再通过分析函数的性质达到分析实际问题的目的，但是在分析选用哪种函数模型时，学生会感到无从下手，其实也就是没有将实际问题的特点与函数的特点对比结合。针对这一点，在学生探索的过程中我提出了如下几个问题：

1.题目中的自变量是什么？因变量又是什么？

2.需要建立几个函数关系式呢？（两个）

3.如何将两种方案进行比较呢？（运用不等式）

如果能突破这几点，该题目自然会迎刃而解。同时我们也可以为学生提供一些特殊值，如12人、18人等，让学生去试验、探索、体会，逐渐感受到变化关系，发现两家旅游费用多少的情况是随着旅游人数的变化而变化的，所以人数为自变量，旅游费用为因变量，而且这种变化关系存在两种，即两家旅行社的不同方案，它们互不影响，相互独立，这就需要建立两个函数模型。根据分析可得到两个函数式分别为y1=200×0.75x，y2=200×0.8（x-1），然后只需要利用不等式比较y1和y2的大小，即可分析出人数对费用的大小影响。

三、建立几何模型

在有一定建模能力的基础上，我们会让学生处理一些较复杂的实际应用问题，而且学生会对同一问题给出不同的思考方式，从而形成不同的构建模型的方法，我们都应该给予肯定，并适度地加以引导帮助，使他们的想法得以实现，从而真正提升自主学习的能力。如要测量一根旗杆的高度，请用所学的知识提出你认为比较合理的解决方法。在北师大版八年级下册第四章第七节给出了三种方法：利用阳光的影子、利用标杆、利用镜子的反射，结合三角形相似的知识得以解决。而学生在九年级下册学习了直角三角形的边角关系以后，又可以利用测倾器和皮尺的测量来解决这个问题。

初中阶段学生就可以构建各种不同的模型来解决很多实际问题了。比如在给出测量旗杆的高度这个问题后，学生需要考虑的第一个问题就是选择哪种数学模型去解决，也就是对学生数学知识结构的考察，筛选各个知识点，如相似、全等、解直角三角形等，无形中使学生建立了数学的知识结构。而哪种模型更合理，这就需要学生去探讨，实验，借鉴别人的思路，不断地反思自己的设计，寻找一个更可行的数学模型去解决问题。

（《山东教育》2012年6月第17期）