数学建模在实际问题中的应用

发布日期 : 2012-07-15点击次数 : 来源 : 《山东教育》中学刊

青岛市第三十三中学   张朋朋

 

教学过程中有很多与现实生活密切相关的问题,学生虽然已经具备了相应的数学知识,但仍然不能有效地解决。当我们需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时,往往要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上,用数学的符号和语言,把它表述为数学式子,也就是数学模型,然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题,并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。我们可以把数学建模的过程大概归纳为建立模型、数学解答、模型检验三个基本步骤。下面结合几个实例来说明教学中部分常见的数学建模。

一、建立方程(组)、不等式(组)的模型

方程或不等式的思想,是分析数学问题中变量间的等量或不等量关系,构建方程(组)或不等式(组),利用它们的性质去分析、转换、解决问题。它们把许多实际问题抽象为数学语言去解决,两种模型既有区别又有联系。而且从数学理论上看,这些方程和不等式的解法都能解决得很完善,因此,运用这类思想方法构建模型是很实用、很有效的解决问题的途径。如一堆玩具分给若干个小朋友,若每人分3件,则剩余4件;若前面每人分4件,则最后一个人得到的玩具数不足3件。求出小朋友数。

如果学生仍然利用算术方法解决这个问题就会有些困难,主要问题在于玩具数和小朋友数是两个不定量,因此选择一种数学模型是本题的关键,我们发现题目中给出的两种情况分别是一个等量关系和不等关系,因此可以设小朋友共有x人,根据等量关系知道玩具数是(3x+4)个,然后结合不等关系建立不等式组的模型,从而得到如下不等式组:

3x+4-4x-1)>03x+4-4x-1)<3

可得5x8  

x只能取正整数,∴ x=67

即小朋友可能是6个人或7个人。

二、建立函数模型

函数是研究两个变量之间变化规律的重要数学模型,在现实生活中广泛应用,比如商场的利润与价格之间的关系、两种销售方案的优化选择问题、货物的调配问题等,这些问题都需要根据它们内在的量的关系建立函数关系式,再借助函数的性质去解决实际问题。在这类模型中,初中阶段主要以一次函数、二次函数为主。如某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游,参加旅游的人数估计为10~25人,甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人200元。经过协商,甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠;乙旅行社表示可以先免去一位游客的旅游费用,其余的游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少?

该题的首要任务是要把实际问题转化为函数模型,再通过分析函数的性质达到分析实际问题的目的,但是在分析选用哪种函数模型时,学生会感到无从下手,其实也就是没有将实际问题的特点与函数的特点对比结合。针对这一点,在学生探索的过程中我提出了如下几个问题:

1.题目中的自变量是什么?因变量又是什么?

2.需要建立几个函数关系式呢?(两个)

3.如何将两种方案进行比较呢?(运用不等式)

如果能突破这几点,该题目自然会迎刃而解。同时我们也可以为学生提供一些特殊值,如12人、18人等,让学生去试验、探索、体会,逐渐感受到变化关系,发现两家旅游费用多少的情况是随着旅游人数的变化而变化的,所以人数为自变量,旅游费用为因变量,而且这种变化关系存在两种,即两家旅行社的不同方案,它们互不影响,相互独立,这就需要建立两个函数模型。根据分析可得到两个函数式分别为y1=200×0.75xy2=200×0.8x-1),然后只需要利用不等式比较y1y2的大小,即可分析出人数对费用的大小影响。

三、建立几何模型

在有一定建模能力的基础上,我们会让学生处理一些较复杂的实际应用问题,而且学生会对同一问题给出不同的思考方式,从而形成不同的构建模型的方法,我们都应该给予肯定,并适度地加以引导帮助,使他们的想法得以实现,从而真正提升自主学习的能力。如要测量一根旗杆的高度,请用所学的知识提出你认为比较合理的解决方法。在北师大版八年级下册第四章第七节给出了三种方法:利用阳光的影子、利用标杆、利用镜子的反射,结合三角形相似的知识得以解决。而学生在九年级下册学习了直角三角形的边角关系以后,又可以利用测倾器和皮尺的测量来解决这个问题。

初中阶段学生就可以构建各种不同的模型来解决很多实际问题了。比如在给出测量旗杆的高度这个问题后,学生需要考虑的第一个问题就是选择哪种数学模型去解决,也就是对学生数学知识结构的考察,筛选各个知识点,如相似、全等、解直角三角形等,无形中使学生建立了数学的知识结构。而哪种模型更合理,这就需要学生去探讨,实验,借鉴别人的思路,不断地反思自己的设计,寻找一个更可行的数学模型去解决问题。

 

(《山东教育》20126月第17期)