四种数学思想方法在教学中的应用

青岛市第六十二中学   王  霞

一、数形结合思想

数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。数形结合思想在各年级中都得到了充分的利用。初一教材引入数轴，就为数形结合的思想奠定了基础。如有理数的大小比较、加法法则、乘法法则，相反数的几何意义、绝对值的几何意义、列方程解应用题中的画图分析，不等式组的解集的确定都是利用数轴或其他实图归纳总结出来的。又如，勾股定理结论的论证、函数的图像与函数的性质、利用图像求二元一次方程组的近似解、用三角函数解直角三角形等等，都是典型的数形结合的体现。再如，点与圆的位置关系，可以通过比较点到圆心的距离与圆半径两者的大小来确定，直线与圆的位置关系，可以通过比较圆心到直线的距离与圆半径两者的大小来确定。圆与圆的位置关系，可以通过比较两圆圆心的距离与两圆半径之和或之差的大小来确定等。在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生的数形转化能力，还可以提高学生的迁移思维能力。

二、分类讨论思想

它是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。例如，两个有理数的比较大小，可分为正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点。又如，教材中给实数的定义是“有理数与无理数统称为实数”，这个定义揭示了实数的内涵与外延，这本身就体现出分类思想方法。再如，学习一元二次方程根的判别式时，对于变形后的方程用两边开平方求解，需要分类研究大于0、等于0和小于0这三种情况对应方程解的情况，此处符号决定能否开平方，是分类的依据，从而得到一元二次方程的根的三种情况。另外，根据图形的特征或相互间的关系进行分类，如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交等。

三、化归思想

化归思想是一种最基本的思维策略，是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段使之转化，进而达到解决的一种方法。它是“避实就虚”这种策略思想迁移到数学解题方面的具体体现，“实”是指繁、难、隐蔽、曲折，“虚”是指简、易、明显、直接。在解题中表现为：把生疏的问题转化为熟悉的问题，把抽象的问题转化为具体的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把一般的问题转化为特殊的问题，把高次的问题转化为低次的问题，把未知转化为已知，把一个综合的问题转化为几个基本的问题等等。

在初中数学学习中运用这种化归的思维方法解决问题的例子非常多。例如，在代数方程求解时大多采用“化归”的思路，它是解决方程（组）问题的最基本的思想。即将复杂的方程（组）通过各种途径转化为简单的方程（组），最后归结为一元一次方程或一元二次方程。这种化归过程可以概括为“高次方程低次化，无理方程有理化，分式方程整式化，多元方程组一元化”。这里化归的主要途径是降次和消元。虽然各类方程（组）具体的解法不尽相同，然而万变不离其宗，化归是方程求解的金钥匙。

另外平面几何的学习中亦是如此。例如，研究四边形、多边形问题时通过分割图形，把四边形、多边形知识转化为三角形知识来研究；我们熟悉的梯形问题，常通过作腰的平行线或作两条高等常用辅助线，把梯形问题转化为平行四边形与三角形问题。又如，圆中有关弦心距、半径、弦长的计算亦能通过连接半径或作弦心距把问题转化为直角三角形进行求解。

总之，化归思想的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间的相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行转化，使问题得以解决。

四、类比思想

类比是根据两个对象有一部分性质类似，推出与这两个对象其他性质相类似的一种推理方法。通过类比，可以发现新旧知识的异同点，利用已有的旧知识来认识新知识。例如，在教学相似三角形的判定定理时，可类比全等三角形的判定定理；又如，在探索一元一次不等式的解法时，可恰当类比一元一次方程的解法；再如，在因式分解的教学中，通过复习整式乘法，让学生比较这两种运算的异同，明确因式分解与整式乘法都是恒等变形，又是互逆运算。另外在教学“中心对称和中心对称图形”时，可以将它与“轴对称和轴对称图形”放在一起进行类比教学等。这样，学生在学习过程中既能较轻松地接受新知识，同时又巩固了旧知识，学习效果甚好。

（《山东教育》2012年4月第11期）