让解题成为提高学生数学素养的途径

毫无疑问，数学教学离不开解题指导，但是数学教学绝不是题海战术，这也是在一线从事基础教育教学的教师的共识。不过，在教学中，我们往往将解题作为一种目标，学生解出题来了，就认为课堂效果好，目标完成得好；解不出来，就认为目标没完成。这种思想是片面的，我们应当将解题指导作为提高学生数学素养的一种途径。

那么，摒弃题海战术和解题指导之间是不是矛盾呢？不是的。一滴水可以反映整个大海的元素组成。因此，如何提高每一道题的使用效率，如何让学生通过解题不断提升自己的数学素养，就成为我们必须时时思索的问题。一旦解决了这个问题，也就让学生既能脱离题海，又能掌握解题方法，而且还能丰富头脑中解题之外的数学思想。而“追问——训练——积累”就是解决这个问题的一种有效方法。

一、追问——在每道题上淘金

（一）步骤三问

1.追问每一步的解题依据是什么，将题做“透”

这一问是解题的基础，也就是要让学生养成说理的习惯，这是培养学生养成严密思维习惯的开始。要让学生明确解答此题所用的知识点，只有明确知识点，才能进一步总结思考，才能边做题边复习巩固所学知识，也有助于让学生将知识与应用画等号。此谓将题做“透”。

在教学实践中，特别是在初次学习命题的证明时，无论教材编写还是教师授课都着重强调推理依据，但是，到了其他模块内容时却往往忽略这一点。殊不知，很多其他问题——尤其是一些计算问题——因为忽视了“依据”而误导了学生，使学生解题时不关注过程的严谨性，形不成良好的数学素养。当然，可能部分老师认为，过多关注过程的严谨性会浪费时间，这种观点是极其错误的，严谨性应该是贯穿数学始终的。即使不要求学生写出来，也一定要让学生能够说出每一个步骤的依据来，这也是一个非常好的方式。计算要明确算理，推理要明确因果，这样做虽然起步很慢，需要时间和耐心，但是一旦扎扎实实、一步一个脚印地养成习惯，便保证了学生学习数学的质量。

2.追问解题的主要步骤是什么，将题做“活”

关键步骤是指解决题目的突破口，而重点步骤体现了解决此题所用的主要知识点。这两个步骤往往相统一，我们不妨总称为主要步骤。明确了主要步骤也就抓住了解决问题的核心所在，也就抓住了要点。此谓将题做“活”。

解题指导要强化主要步骤的分析，不惜时间地反复演练，从题目的条件、题目的结论、相关的知识等等各个角度去探讨主要步骤的由来。这有助于训练学生主动地去归纳题目类型，寻找解题切入点的方法。更重要的是能够培养学生自觉地对题目进行整体认识，敏感地抓题目要害，迅速地筛选联系条件和结论之间的知识纽带的能力。

3.追问过程的描述是否完善，将题做“美”

分析前后逻辑关系是否合理，次序是否恰当，思路是否清晰，表述是否准确,详略是否得当，此谓将题做“美”。

数学的美感，体现在各个方面，就解题过程来讲，体现在流畅美、简洁美、条理美、精确美等方面。解题过程不仅仅追求解出答案来，更高的追求是步骤的完美。仔细斟酌因果关系的表达是否自然易懂，认真推敲句子结构和思维过程能否和谐统一。解题步骤的表达实际就是一篇小论文，麻雀虽小，也需五脏俱全，在一些细节上必须有必要的交代，绝不可粗枝大叶。解答一道题目的过程，就像雕琢一件艺术品的过程，只有融进了自己的情感，才能在准确的基础上体现数学的美感。解题指导，也是引导学生建立正确的情感态度价值观的过程。通过解题，让学生逐步形成严谨、尚美的人生态度。

（二）方法三问

1.追问本题用了什么解题方法，不断反思总结

可根据题目类型、所用主要知识点、解题思路、解题技巧等方面进行分析总结，并与以前做过的类似题目作对比，用简练的语言概括出其所用的主要解题方法。可以引导学生用如下的句式：本题主要用……的知识来解决的；用到的技巧是……；主要的数学思想是……，这个方法我可以命名为……等等来进行反思总结。

2.追问能否一法多用，逐步积累方法

总结出解题方法之后，分析所总结的方法具有什么特点，用于何种类型，能解决什么问题，并找一些类似的题目加以尝试。要不断完善你的方法，使之“功能”更加强大，相信你在此过程中定会有大的收获。在初中数学中诸如列方程、勾股定理、三角形相似、三角形全等、锐角三角函数等都是应用非常广泛的知识点，甚至有些题目中上述几种方法能够同时用到。在一些综合性强的题目中进行自己熟练的知识点或者解题技巧方法的尝试，一定会发现，很多方法是相通的，很多知识点是互补的。

3.追问能否一题多解，拓宽思维广度

换一种角度，探求其他的解题思路，以求得最佳方法。比如说证明线段相等，可尝试全等法、相似法、等腰三角形法、对称法、面积法、计算法等等，当然有可能“一无所获”，但是在你探求的过程中，也就是你把脑海中所学知识加以综合、应用、再认识的过程，这样，每做一次尝试，也就是一次很好的复习，同时，也锻炼了思维的广度。

（三）创新三问

1.追问条件、结论能否互换，培养多向思维能力

分析条件的构成，将其划分为①②③④……分析结论构成亦划分为诸如⑦⑧⑨⑩……（通常情况下，结论只有一条），取一条件与一结论互换，得到一新题，探求其真假。可能以此派生出许多问题，研究之，定有不少收获。

2.追问可否增减条件，感悟特殊和一般的转化

增加条件，将问题特殊化，看看有何特殊的结论，或者减少结论，能否将问题推广到一般情形中去。如学习平行四边形的过程中，便是很好地运用了这个思维模式，先是逐步特殊化，由四边形定义得到平行四边形，然后到矩形、菱形、正方形；然后减少条件（由2组对边平行到只有一组对边平行），可以引出梯形的概念。函数的学习也体现了这一点，由正比例函数到一次函数，由特殊的y=ax2到一般的二次函数。

3.追问能否变化条件或结论，培养深入探究的习惯

第一步思考：就已知条件而言，还能否推出其他结论；第二步探求：用类似或相关的条件替换已有条件，能否得出新的结论。例如，在直角三角形中，三条边满足勾股定理，其逆定理也是正确的，也就是如果一个三角形的三边满足a2+b2=c2，边c所对的角就是直角。如果将上述的相等关系改为大于或者小于，边c对的角的度数又有何变化呢？用心做一些，会有很多发现，实际上将学生引入了余弦定理的研究。通过这种逐步深入的探讨，为以后学习新知识奠定了基础。

追问中会发生条件与结论冲突、新旧知识的摩擦、思维定势的突变，不管是哪一种追问，在追问过程中得出的新结论、新方法、新思维，要负责任地证明其正误和有效性。相信在自己不断地自我追问和思考探索中，头脑中会不断进行数学知识的碰撞，必然擦出数学技能的火花，结出数学思维的果实，自己的能力和素养会慢慢形成，这些定会成为自己一生中重要的财富。

二、训练——在江河中学会游泳

纸上谈不出好战法，陆上练不出好泳将。培养学生的解题能力，最好的办法就是从题目出发，进行实战演练。实战的方法有很多，但不外乎泛做与精做两种。

泛做就是集中一部分题目，大致写写画画，了解总体思路，不用计算出具体结果，重在总结分类，可以按照知识点分类，总结知识点之间的密切联系；可以按照解题方法分类，总结一类题目的解决方法。泛做重点培养自己的以下几方面的能力：读题的能力，理解题意的能力，设计解题方案的能力，迅速探求解题思路的能力，题型分类的能力，探求规律的能力，选择评价的能力。最后达到开阔眼界、触类旁通，使所学知识系统化的目的。

然后选择有价值的题目，进行精做。精做最好采取一些方式，比如挑战，便是以张榜的形式，给学生提出一些具有挑战性的题目，让学生去经历挑战困难的乐趣，让思考和解决数学问题成为一种乐趣，成为一种休闲方式，在学习之余，去静心思考，去解决一个个问题，或者去争论，去探索，在思考和挑战中开阔自己的思维空间。如果学生没有按时完成作业或者偶尔抄袭作业，也可以用此方式，根据其水平提出对其具有挑战性的问题，责成限时解决，可以让其翻阅相关的教材，可以请教同学或者其他老师，不管如何，到期后必须接受老师对所提相关问题的答辩。答辩题的设计可以五花八门，涉及知识点的、思维过程的、书写步骤的等等，都可以作为问题源，学生不进行精做是难以过关的。

三、积累——聚小溪成巨流

积累无疑是培养学生解题能力的最好途径，积累的方式方法也有很多种，可以总结为四个集子。

（一）拥有自己的“习题集”

“习题集”即为练习题的解答。一名学生如果认认真真对待每一道习题，用心解答好每一道题，他的成绩不会太低。“习题集”不同于一般的练习本，它可以由学生自主地设计“书”名，如“我的每一节课”“我的脚步”“足迹”等等。解题的格式、步骤的书写等都可以由学生自行设计，也可以加一些“旁白”，如解题心得、相关资料、问题探索等，也应该有定期总结，并注意随时记录自己新的发现。

（二）设计自己的“错题集”

学习的过程是一个不断完善的过程，要想在学习上取得大的进步，必须及时地发现自己存在的缺点并加以改正，“决不让一块石头绊倒自己两次。”“错题集”不仅仅是将自己的错误更正过来，更应该找出错因，对症下药，真正克服学习上的缺陷。例如，因粗心造成的失误，要有意识地对自己的“细心”加以训练；因知识的缺陷造成的错误要及时翻书学习；因思路方法的原因可多总结、积累解题经验，将知识学活等等。每过一段时间，好好总结归类，相信你会有很大的收获。错中出巧匠，当然要下苦工夫反思、纠错。

（三）关注自己的“问题集”

要做得小巧一些，类似一本随记，放在课桌的一侧，学习过程中一旦发现问题，及时纪录下来，事后抽出专门的时间做思考解答，若解答圆满则对问题做一标记。写好这本书可以使你养成三个好的习惯：一是在学习上决不放过一个问题的习惯；二是勇于质疑的习惯；三是及时捕捉学习过程中出现的灵感的习惯。当然，提出的问题不一定会全部解决，但是只要能提出问题，就说明你在学习过程中是用心思考的。“提出问题有时比解决问题更重要”，相信只要自己思考了，就一定有收获。

（四）积累自己的“好题集”

借鉴于语文学习中的“读书笔记”。一个好的句子，一篇优美的文章，会让人有一种收录的冲动，比如剪报，积累一大本，平时捧出来诵之，会得到更深层次的情感体会。将有代表性的数学题目整理结集，就是结集好的解题思路、好的解题方法，也是结集解题智慧。“好题集”不能束之高阁，它是用来读的，经常翻翻会有许多收获的。

以上四个集子中最基本的是“习题集”，这个集子必须写好，它是其他三个集子的基础。在学习过程中，随时记录、分类，将疑惑、挫折、经验、收获分门别类地收录在不同的本子上。如果全班每名同学都写好自己的每一本“书”，每隔一段时间相互交换阅读、鉴赏，收益会倍增的。有这样一句话，“如果我有一个苹果，你有一个苹果，交换过来，我们各有一个苹果；如果我有一个思想，你有一个思想，交换一下，我们彼此会有更多的思想。”

以上习惯的养成也可以稍做变通用做其他学科的学习，推广一下也可以用于以后的学习、工作。

（《山东教育》2011年12月第35期）