回归本真 让学生学真正的数学

 

山东省泰安第一中学   石  菁

作者简介

 

石菁，正高级教师，全国五一劳动奖章获得者，山东省特级教师，齐鲁名师，山东省教学能手。先后被评为泰安市先进工作者、泰山功勋教师、泰安市专业技术拔尖人才等。曾在山东省数学优质课比赛中荣获高中组一等奖，主持多项省市重点课题，在国家级学术期刊发表论文十余篇，出版专著《高中数学课堂教学案例研究》。

 

教育是点燃火焰，教育是唤醒灵魂。作为一名站在三尺讲台的高中数学教师，24年来我一直将这句话作为我工作的座右铭。结合高中数学教学的实际特点，怎样点燃学生心中对数学学习的热情，如何唤醒学生学习数学的心灵呢？我个人认为，教学中应致力于培养学生提出、分析、解决问题的能力，发展学生的数学应用意识与数学创新意识；拓宽学生的数学知识视野，渗透研究性学习理念，加深他们对数学本质的认识。简而言之，就是让学生学习真正的数学。

一、让学生学真正的数学，从关注高中数学的三个“特性”入手

（一）关注数学教学的基础性。正如章建跃所说：“除了双基及其由内容所反映的数学思想方法、扎实的解题能力，教师还需要在不断提炼、概括具体知识的过程中形成数学的核心概念和思想方法，要有数学的学科观念和哲学思考，这样才能深刻了解数学理论体系的建构方式，具有用高观点解释初等数学的能力。”

要实现这一点，第一步就是要“创造性地用教材，而不是生硬地教教材”。譬如：在概念课教学时，教师要透过现象挖掘本质，让学生在掌握教材显性知识的同时，更能理解把握概念背后的隐性知识。所以，在概念课的备课中追根溯源，授课时引导学生重视概念的生成过程，这才是教学生学“概念的本质”，让学生学“真正”的数学。特别强调的是，概念课起始阶段的教学，为避免学生感觉乏味，可以从学生“感兴趣”“容易激发求知欲”的地方切入；遇到蕴含丰富历史背景和现实意义的全新定义教学时，也可以通过真实历史的介绍与实际问题的展现，将学生带入概念学习中去，让学生在体会概念来龙去脉的同时，感受数学理性精神的光辉。以人教A版《复数》一章为例，在第1节《复数的概念》教学中，我会通过生动的历史故事，将复数最初的不被世人承认，到一元三次方程求根公式中出现无法回避的复数问题，再到历经200余年复数通过几何形式才得到人们认可的漫长曲折过程展现给学生，让学生深刻感受到数学家们丰富的创造力和不屈不挠的精神，同时从根源上理解了复数引入的必要性。而在处理本章第2节《复数的四则运算》和第3节《复数的三角表示》概念教学时，我将复数的向量本质（既有大小又有方向）渗透到复数的几何意义及三角形式中“模”与“辐角”的概念学习中去，让学生通过“方向属性”体会“复数”作为“二元数”的同时，也加深了对第1节数系扩充规则（代数形式为两项之和）的进一步理解和认同。

关注数学教学“基础性”的第二步，是要通过数学教学发展学生的理性思维，让学生通过高中数学学习真正体会数学思想和数学应用价值。数学思想可以通过在数学知识方法的教与学中提炼概括，然后通过解题教学使之显性化、迁移化，这也是实现数学教学“基础性”的重要一环。譬如在高一不等式教学中，可以在研究关于x的不等式kx+b＞0的解集时由学生提炼出“分类讨论”的数学思想，学生就会逐渐在解关于x的含参数不等式ax2+bx+c＞0中灵活渗透，进而迁移到“需要通过区分情况来解决”的各种问题中去。当然，在日常解题教学中，一方面要引导学生理性分析，学会“以退为进”退回“关键信息涉及的原始概念”去理解问题；另一方面，要鼓励学生在平时学习中先注意积累“宝贵经验”进而积累“基本套路”，将多如牛毛的解法归结到大道至简的“原理”上去，这都是对高中数学教学“基础性”的最好阐释。

（二）关注数学教学的整体性。这种整体性，既体现在数学知识及其反映的数学思想方法的一体性上，又体现在高中数学各部分内容的整体联系上。

在教学中，首要的应让学生通过学习，了解数学知识的来龙去脉，整体把握学习主线，关注同一分支知识的前后逻辑连贯性。仍以《复数》为例，从第1节通过解一元三次方程引入复数的概念，到第2节通过共轭复数的定义研究在复数集范围内解实系数一元二次方程问题，再到第3节通过复数乘法运算的三角形式探索“1的n次方根”（棣莫佛定理）。教师在备课时可充分利用“解方程”这一条主线，让学生完整地了解复数应用价值的同时，也对复数的来龙去脉有了“整体”的把握。

另一方面，可以通过教学帮助学生初步形成数学知识结构及方法结构（即“知识块”或“方法链”）。例如在高三一轮复习中，以上述理解为依据，结合学生实际，主干知识可以通过思维导图的形式进行关联整合；方法整合教学则可以通过若干“小专题”教学来实现———如结合新高考Ⅰ卷风向，将热点考题中重点难点涉及的思想方法一一分解，利用一堂课用一两个典型例题引领，从多种方法中提炼出一个（或两个）核心思路，让学生在理性思维得以充分发展提升的同时，也把握住了解题方法的“主动脉”。下面是“三角函数”知识网络图。

（三）关注数学教学的创新性。2023年5月29日，中共中央总书记习近平在二十届中央政治局第五次集体学习时指出：“基础教育既要夯实学生的知识基础，也要激发学生崇尚科学、探索未知的兴趣，培养其探索性、创新性思维品质。要在全社会树立科学的人才观、成才观、教育观，加快扭转教育功利化倾向，形成健康的教育环境和生态。”因而，尝试通过数学教学的创新性，激发学生的探索欲，进而使他们形成探索性、创新性的思维品质，让这些成为他们今后走向社会的坚实动力，成为他们具备创新意识的原动力，应该是当下高中数学教师在教学中努力坚持的事情。具体说来，可以通过营造创新的教学环境、采用创新的教学手段及设计创新的教学活动等策略来实现。以下是我在高三二轮复习微专题《圆锥曲线的双切线问题》教学中进行创新性教学的一点收获。

创新点一：结合学生已有的学习经验，营造相对轻松的创新情境。

具体实施：让学生明晰二轮复习的任务是“连点成线———织线成网”后，由学生借助已有的学习经验，独立探究出与圆有关的双切线常见问题，然后合作补充，形成结论。

【活动一】结论可推广到圆（x-a）2+（x-b）2=r 2（r＞0）

过圆O：x2+y2=r 2（r＞0）外一点P（x，y）引圆的两条切线，切点分别为A、B。

 

（1）切点弦AB所在直线方程是xx+yy=r 2。

（2）若点P在圆外一定直线上运动，则切点弦AB过定点。

（3）若切点弦AB过圆内一定点，则点P必在某定直线上运动。

（4）若∠APB=90°，则动点P的轨迹方程为x2+y2=2r 2。

创新点二：结合学生课前已完成的任务，采用创新的教学手段。

具体实施：由学生分两组利用展台展示自己对真题和关联试题的解答，并类比之前对圆的双切线问题的研究思路，得到椭圆及双曲线的相关结论。

【真题赏析】（2014年广东高考）

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为（，0），离心率为。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x，y）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。

【关联题感悟】（济南市2021年一模）

画法几何的创始人———法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆。已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F、F分别为椭圆的左、右焦点，A、B为椭圆上两个动点，直线l的方程为bx+ay-a2-b2=0。下列说法正确的是（    ）。

A.C的蒙日圆的方程为x2+y2=3b2

B.对直线l上任意点P，·＞0

C.记点A到直线l的距离为d，则d-|AF|的最小值为b

D.若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2

创新点三：关注学生思维的最近发展区，大胆设计创新教学活动。

具体实施：由椭圆及双曲线类比联想，让学生站在命题者的角度，自主开放性地设计问题，供全体学生探究。让教师惊喜的是，学生在合作的基础上，结合之前遇到的常见问题，形成了一道研究价值非常高的考题。在第二节课时，由学生们各展神通，一一给予严格论证，形成了完整严谨的一道开放性试题的研究。

【活动二】

【我来出考题】抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（x，y）、B（x，y）是抛物线上的两个动点。P（x，y）是抛物线外一点。请以下面选项中的两个为条件，其余三个为结论，命制一道证明题，并给出证明过程。

①PA、PB为抛物线的两条切线；

②PA⊥PB；

③点P在抛物线的准线上；

④AB过焦点F；

⑤PF⊥AB。

【活动二结论】阿基米德焦点三角形

抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（x，y）、B（x，y）是抛物线上的两个动点。P（x，y）是抛物线外一点。请以下面选项中的两个为条件，其余三个为结论，写出所有真命题。

①PA、PB为抛物线的两条切线；

②PA⊥PB；

③点P在抛物线的准线上；

④AB过焦点F；

⑤PF⊥AB。

所有真命题为：

①②?陴③④⑤

①③?陴②④⑤

①④?陴②③⑤

②③?陴①④⑤

二、让学生学真正的数学，从提炼课堂教学的基本“思路”出发

基于以上对高中数学教学基础性、整体性及创新性的关注，我将高中数学课堂教学的主要环节提炼出一个基本思路，用下面的流程图具体体现。

教学思路第1步中设计的“背景驱动”可以理解为：结合教学目标，为解决本节授课内容核心问题进行情境创设（常用情境：问题性情境、动机性情境及体验性情境），使学生遇到困难、触发求知欲或产生同理心后，尝试对核心问题进行分析拆解转化；

教学思路第2步中的“有效学习、整合及提炼”可以理解为：为解决第1步中分析拆解转化出的子问题，对本节课的知识进行有效学习，建构知识经验，并及时整合与提炼；

教学思路第3步中的“有效应用、实践和优化”可以理解为：让学生利用前一步形成的知识经验，充分呈现解决问题的思路，将知识功能化，逐步形成方法策略；

教学思路第4步中的“有效强化、迁移和创新”可以理解为：让学生回到最初或进入新的情境中，利用已形成的方法策略，多角度、多方位地思考、探究、推理，使数学知识经验具体化；

教学思路第5步中的“深化对已有数学知识经验的理解”可以理解为：通过课上教学反馈与评价或课下研究课题的探究反馈评价，将知识经验素养化，教学目标最终得以落地。

三、让学生学真正的数学，从打造课堂教学的典型“模式”做起

从基础教学思路出发，可以依据课型的不同，采用符合课型特点的不同教学模式予以落地。下面我就谈一下在探究课教学模式实施过程中的一些个人感悟和收获。

我对“探究课教学模式”的研究，开始于2018年学校数学论坛中的一场“问题导向学习”（也称PBL，即Problem-based Learning）教学研讨。2017年山东省成为第二批新高考改革省份，2018年初新课程标准得以落地，我围绕“三新”背景下的高中数学课堂教学模式进行了系统学习和研究。其中“以学生在学习过程中生成的问题为导向，通过问题解决形成结论并科学证明，再利用结论优化解题策略进而应用于一般问题”的探究课教学探索就此展开。事实上，在问题导向学习中，知识的获得来源于对问题的认识和解决过程。学习开始时遇到问题，问题本身推动了解决问题和推理技能的应用，同时也激发了学生查找信息，以学习关于此问题的知识和结构，以及解决问题的方法的动力。正如数学家波利亚在他的论著《怎样解题》中所说：“解题的经验和观察别人解题的经历，都必须成为建立探索法的基础。在这一研究中，我们不应忽略任何类型的题目，应该找出所有这类题目的方法中的共同特征。”基于此，我提出了“问题解决+策略迁移”的教学模式，具体特点是“在学习中发现问题———提出问题———生成策略———优化策略———迁移到新问题的解决”。

下面以我执教的一节探究课《三角形的中线和角平分线》为例，进行具体说明。

【探究课的授课背景】学生在学习完《余弦定理、正弦定理》之后，在课后强化中遇到了两道训练题。

由于学生们选用的方法各不相同，完成的时间就大相径庭。有部分学生有了寻找解决此类问题的最优方法及理论支撑的想法。

数学探究———三角形的中线和角平分线

【提出问题】寻找解决此类问题的方法及理论支撑

1.三角形中，与中线、角平分线有关的常见关系式有哪些？

2.在解决三角形中线、角平分线有关的问题时，常用策略有哪些？

【发现问题】解决此类问题的方法不同，差异明显

在△ABC中，已知cosA=-，b=2，c=6。BC边上的中线为AD，求AD的长。

在△ABC中，已知cosA=-，b=2，c=6。角A的平分线交BC于点E，求AE的长。

【探究课的策略生成及优化】

1.对于中线问题，学生们以合作组（6人一组）为单位，通过两组余弦定理推证出了向量中线表示的平方式2=（+）2、中线长定理AD2=（2AB2+2AC2-BC2）及极化恒等式·=2-2三个常见公式。经过激烈的讨论，最终给出如下优化策略：（1）已知三角形顶角和两边寻求中线长问题的最优方法是向量中线表示的平方式；（2）已知三角形三边寻求中线长问题的最优方法是中线长定理；（3）已知三角形一边、两边之积和夹角，寻求中线长问题的最优方法是极化恒等式。

2.对于角平分线问题，学生们独立思考，各抒己见，证明了角平分线定理（=）、角平分线长公式（AE=）及角平分线的向量表示（=+）。学生们结合解题体验，一致认为，用好“顶角等分、面积分割与长度比例”三个基本信息，就可以应对多数角平分线问题了。

【探究课的策略迁移解决新问题】

策略优化之后，我给出不同情形下的新问题

（1）A=π，c=2，BC边上的中线AD=，求边b的长。

（2）A=，a=4，△ABC的面积为，求BC边上的中线AD的长。

（3）c=6，ab=4，AB边上的中线CD=，求△ABC的周长。

（4）B=，a=8，cosA=，求BC边上的中线AD的长。

（5）B=π，角B的平分线交AC于点D，且BD=1，求4a+c的最小值。

（6）C=π，角C的平分线交AB于点D，且=，AB=3，求AC和CD的长。

学生采用优化后的策略，尝试独立解决新问题，评价反馈效果优良。

杜威说：“从做中学，锻炼良好的大脑比在大脑中堆放不能消化的公式和定理有价值得多。”让学生学真正的数学，其核心就是以学生为本，以点燃学生内心求真探索的火苗为本，以唤醒学生“从做中学”的原动力为本。回归本真，大道至简。

 

 

（《山东教育》2023年7、8月第21、22期）