深化建模思想 提升应用意识

发布日期 : 2022-01-10 点击次数 : 来源 : 《山东教育》中学刊


山东师范大学附属中学   张庆祝   王秀梅

数学建模作为数学学科的六大核心素养之一,在最新的人教A版教材中成为独立单元并且各个章节中都有涉及。数学建模在新教材中占有很大比重,如何上好建模课成为教师们面临的一个亟待解决的问题。笔者参加了在青岛平度一中举办的山东省“互联网+教师专业发展”工程高中数学省级工作坊活动,并提供了一节数学建模展示课,得到了与会专家和老师们的认可,现将内容进行整理,希望能对老师们的实际教学有所帮助。

在数学建模课中选择学生感兴趣并能用高中知识解决的题目是关键。在大学生数学建模竞赛中如何科学减肥的问题是很成熟的选题,清华大学谢金星教授通过差分方程建立的减肥模型易于理解。笔者将谢老师的模型进行调整,最终转化成了高中数列问题。

下面是教学课堂实录。

《科学测算,享“瘦”人生》详案

一、关注热点,提出问题

师:随着人们生活水平的不断提高,肥胖问题逐渐成为了人们议论的热点话题,今天我们来研究如何减肥,大家先看一个视频。(播放视频,展示减肥的迫切性及各种乱象)

今天这节课我们将从数学的角度来研究如何科学减肥,请同学们首先来思考:现有一成年人,你认为影响他体重的因素有哪些?

生:一般有饮食、运动、疾病、遗传等。

师:很好,同学们能想到各种影响体重的因素,有饮食、运动、疾病、遗传等。现在我们要对减肥问题进行数学建模,就要把这个现实问题抽象简化成一个数学问题,希望我们的研究成果能够让更多的人受益。这就需要我们剔除掉随机因素,抓住主要因素进行研究。同学们,你们觉得影响体重的主要因素有哪些?

生:饮食和运动。

引导学生在问题分析中抓住主要因素,剔除随机因素,使我们的研究成果让更多人受益。(板书:饮食和运动)

师:这是我们根据生活常识得到的结论,下面我们看一看营养学家们关于减肥有什么研究成果。我们请语文课代表来读一下材料一。

二、总结规律,建立模型

材料一   营养学家认为:人类需要通过饮食摄入的热量来维持其正常生理功能。当其所摄入的热量恰好维持其消耗所需时,体重保持不变;当其所摄入的热量超过消耗所需时多余的热量会转化为脂肪,体重就会增加;反之,体重就会减少。但是从健康和安全的角度考虑,正常的成年人每周所摄入的热量不能低于10000千卡,每周的体重减少也不宜超过1.5千克。

师:请同学们对材料一进行提炼,思考影响体重的关键因素是什么,体重的变化量满足什么样的数量关系,将你的思考填到下面的表格里。

引导学生对材料进行信息提炼,并思考这背后的体重变化量满足什么样的数量关系。(板书:信息提炼   找出数量关系)

给出解决建模问题的一般思路:先提炼信息,再寻找数量关系。培养学生提炼信息的归纳总结能力。

师:下面请同学们阅读材料二,讨论学案上的三个问题。

材料二   据统计,一般人体每多吸收8000千卡热量会增加体重1千克。在不运动的情况下,成年男性每周每千克体重消耗热量为200~320千卡,那么70千克的男性每周消耗的热量是14000~22400千卡。

阅读材料二后组内讨论3分钟,回答下面3个问题:

1)增加的体重和吸收的热量有什么样的数量关系?

2)成年男性每周消耗的热量和体重有什么样的数量关系?

3)成年男性每周每千克体重代谢消耗热量为200~320千卡而非一个确定的值,这是什么原因?

生:(1)增加的体重和吸收的热量成正比,比值为常数,记为α=

2)代谢消耗的热量和体重成正比,比值为常数,记为β。

3)每个人的比值β有所不同。

设置好问题,环环相扣,不断引导学生思考其背后的数量关系,培养学生用数学的思维思考问题。

师:通过信息提炼我们找出了数量关系:增加的体重和吸收的热量成正比,比值为常数,代谢消耗的热量和体重成正比,比值为常数,记为β,具体比值因人而异。把我们的结论记录到你的学案上。

师:综合材料一和材料二思考:(1)选择哪个时间单位制定减肥计划更合适?

2)体重一周的变化量应如何测量?

生:(1)以周为单位;(2)用本周末的体重减去上周末的体重。

选择合适的时间单位,为后面的模型做准备。

师:结合我们的研究,请你利用表格中的符号建立第k+1周体重变化的数学模型。

引入符号表示:

 

师:同学们,你能否用上面的符号将我们所得的数量关系符号化?

生:代入可得W-W=αC-αβW即可得W=αC+1-αβ)W。(板书此数学模型)

师:在这些参数中哪些是已知的,哪些是未知的?

生:α=是定值,β是常数,但因人而异。如果知道了这个人的β值,就可以建立这个人的体重变化模型了。

利用前面的结论,让学生自己推出第k+1周体重变化的数学模型,让学生有参与感,有讨论后的成就感。

师:分析所得模型是否还有其他形式,你是如何思考的?

引导学生思考,鼓励学生提供不同的想法。一起探究背后的区别,并分析哪种更合理。

三、应用模型,解决问题

下面我们应用刚才求得的模型来解决一个具体问题。

今有一成年男子身高1.70米,体重100千克,BMI高达34.6。自述目前每周吸收20000千卡热量,体重长期不变。

师:请同学们根据已知信息建立该男子体重变化模型。

生:体重100千克,每周吸收20000千卡热量,体重长期不变,代入模型W=αC+1-αβ)W可得100=+1-)×100,β=200

由此可得该男子的体重变化模型为W=C+W

师:这样我们得到了该男子以周为单位的体重变化模型,三个量中如果能够知道其中的两个量,就可以表示出第三个量。

再次强调解决问题的思路:先提炼信息,再将其转化为数量关系,转化为数列问题后,利用所学知识加以解决,增强学生解决问题的信心。

师:下面我们来解决减肥的实际问题。该男子自感过于肥胖,现求助于保健医生,保健医生为他制订了不运动减肥的方案甲和运动减肥的方案乙;

方案甲在基本不运动的情况下安排了两阶段,

第一阶段:每周减肥1千克,每周吸收热量逐渐减少,直至达到安全的下限(10000千卡);

第二阶段:每周吸收热量保持下限,直至体重减至75千克。

请你使用建立的模型分别计算两个减肥阶段所需时间。

生:第一阶段,体重每周减少1千克,最初的体重为100千克,那么每周的体重就构成一个等差数列,W=100W=100-kW=100-k+1)。

代入模型可得C=12000-200k10000,解得k10

第一阶段10周,每周减少1千克,第10周周末体重90千克;

从第11周开始每周吸收的热量为10000千卡,进入第二阶段。

给出利用递推数列求通项公式的具体计算过程。就具体求k的过程给出一般思路,不再进行具体计算。

再次强调解决问题的思路:先提炼信息,再将其转化为数量关系。转化为数列问题后,利用所学知识加以解决,增强学生解决问题的信心。

师:第二阶段,从第11周开始每周吸收热量保持10000千卡,直至体重减至75千克。

代入模型可得:W=W+k10),此时如果知道W则可求得W。这是我们熟悉的什么问题?

生:数列已知递推式求通项公式。

师:你能解决这个问题吗?

生:构造等比数列W-x=W-x)即W=W+x可得x=50

数列{W-50}是以W-50=40为首项,为公比的等比数列,

W=40×()+50

师:要使W=75,如何求指数中的k

生:取对数,可得k-10=19

第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重可减少至75千克。

根据我们已知的条件和所求的目标,设置好问题串,层层推进,转化成学生可以解决的问题。让学生参与其中,不断探索,感受数学在解决实际问题中的巨大作用。

师:在刚才的模型计算过程中,需要我们构造新的数列,利用等比数列的通项公式和计算器求对数得到结果。实际上,在科技发达的今天,模型的计算不是很困难的事情,本题我们在第二阶段建立的递推公式如果通过软件实现,只需4行程序即可。

利用matlab快速实现,现场操作:

>>W10=90

for n=1050

Wn+1=0.975*Wn+1.25

end

本节课的重点是建模,解模中的转化技巧要说明,但具体的计算不是重点,可以直接给出结果。通过matlab展示计算的快捷性,让学生感受掌握现代计算工具在实际建模中的巨大作用。

四、问题拓展与模型应用

增加运动减肥的方案乙也是两阶段。

第一阶段:每周减肥1千克,每周吸收热量逐渐减少,直至达到安全的下限;

第二阶段:每周吸收热量保持下限并进行适当的运动,直至体重减至75千克。

根据资料每小时每千克体重消耗的热量γ(千卡):

 

思考:(1)我们的数学模型有什么变化?

2)选择一个你感兴趣的运动并设定每天运动的时间,计算第二阶段所需的时间。

师:请同学们思考,增加运动之后,我们的模型要发生变化,是哪一项发生变化呢?

生:β。

师:基本模型为:

W=W+αC-αβ′W

在提炼信息中,不同的运动项目消耗的热量是不一样的,如果我们选择跑步这项运动,那么这个人消耗的热量和什么有关呢?

生:与运动时间和体重成正比,消耗的能量除了代谢还有运动。

师:根据资料可知每小时每千克体重消耗的热量为γ,那么新的模型应该是什么?

生:新的模型是:

W=W+αC-α(β+γtW

师:同学们课下可以将自己感兴趣的运动数据代入新的模型,设定每天运动的时间计算第二阶段的减肥时间,今天这节课我们就不再展开计算。

开放性问题留给学生,让学生按照已有的思路课下继续进行研究,制定不同的减肥计划。

五、减肥总结,模型评价

师:同学们,通过我们对减肥问题的建模及解模,你对减肥有了哪些认识?

生:通过深入分析减肥问题的数学模型可以得到:

减肥策略包括减少饮食和增加运动。首先要控制饮食,每周至少吸收10000千卡的热量。其次要辅助运动,例如每天跑步。

师:同学们,我们所建的模型有哪些优点,又有哪些缺点?

生:1.此模型能够建立时间和体重的函数关系,并且具有较强的普适性。

2.模型较为粗糙,考虑的因素较少,并且假设条件较强,如果要更加精细需要更深的数学知识。

师:很好,同学们说得很全面。针对同一个问题我们可以建立不同的模型,分析不同模型的优缺点,根据实际需要进行选择,我们的数学建模没有最好,只有更好。

引导学生反思工作,寻找工作的亮点,分析缺陷,培养学生的批判意识,为下一步工作找到方向。

六、数学建模的一般步骤

 

七、送给学生热量最高的十种食物的清单

【附】热量最高的十种食物

1.蛋糕:347千卡/100g

2.酥糖:444千卡/100g

3.汉堡:456千卡/100g

4.方便面:473千卡/100g

5.全脂奶粉:491千卡/100g

6.曲奇饼:546千卡/100g

7.薯片:548千卡/100g

8.巧克力:586千卡/100g

9.核桃:654千卡/100g

10.奶油:879千卡/100g

播放音频动画《卡路里》:

拜拜,甜甜圈,珍珠奶茶方便面。

火锅米饭大盘鸡,拿走拿走别客气!

拜拜,咖啡因,戒掉可乐戒油腻。

沙发外卖玩游戏,别再熬夜伤身体!

师:盲目减肥,身体遭殃,科学减肥,安全健康。希望同学们学好数学,用好数学,成就你的美丽人生。

【教学反思】

一、深入研究,寻找适合学生的建模题材

数学建模就在我们身边,所以要多找一些适合学生的建模题材。除了教材中已有的,我们也可以再去寻找一些。大学生数学建模已开展多年并且有很多成熟的研究案例,高中教师可以从中多学习,多找一些学生感兴趣的课题,将其转化为高中生能够解决的问题。等到学生熟悉建模的过程后可以放手让学生自选课题进行研究。

二、问题设置要规划,引导学生深入分析

现实问题的背后都有一定的规律,如何去发现和使用这些规律是我们解决建模问题的关键,这就需要教师带领学生对信息进行提炼。而在一节课中教师的主导地位就体现在问题的设置上。问题的设置要环环相扣并且具体化,切忌大而化之的问题。

三、抽象简化,寻找背后的数量关系

数学建模要用数学的语言来表达,需要我们寻找合适的数学模型。这个过程需要和学生一起讨论,要敢于放开讨论,让学生找到不同的解决思路,再和学生一起探讨哪种方式更合理。

四、模型求解,展示多种方法

首先将问题转化成高中生能够解决的问题,让学生感受通过学习的数列解决现实问题的成就感;其次通过展示matlab解决问题的便捷性,鼓励学生多学习编程的知识,通过掌握先进的技术来解决问题。

五、德育渗透,培养应用意识

数学来源于生活,同样应用于生活。通过对现实问题的不断拓展,逐渐优化我们的模型,让学生发现:体重可以自己控制,人生也掌握在自己手中。最后让学生就我们的数学建模进行总结感悟,提高学生分析问题和总结经验的能力。

 

 

(《山东教育》202112月第50期)

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