深化建模思想 提升应用意识

山东师范大学附属中学   张庆祝   王秀梅

数学建模作为数学学科的六大核心素养之一，在最新的人教A版教材中成为独立单元并且各个章节中都有涉及。数学建模在新教材中占有很大比重，如何上好建模课成为教师们面临的一个亟待解决的问题。笔者参加了在青岛平度一中举办的山东省“互联网+教师专业发展”工程高中数学省级工作坊活动，并提供了一节数学建模展示课，得到了与会专家和老师们的认可，现将内容进行整理，希望能对老师们的实际教学有所帮助。

在数学建模课中选择学生感兴趣并能用高中知识解决的题目是关键。在大学生数学建模竞赛中如何科学减肥的问题是很成熟的选题，清华大学谢金星教授通过差分方程建立的减肥模型易于理解。笔者将谢老师的模型进行调整，最终转化成了高中数列问题。

下面是教学课堂实录。

《科学测算，享“瘦”人生》详案

一、关注热点，提出问题

师：随着人们生活水平的不断提高，肥胖问题逐渐成为了人们议论的热点话题，今天我们来研究如何减肥，大家先看一个视频。（播放视频，展示减肥的迫切性及各种乱象）

今天这节课我们将从数学的角度来研究如何科学减肥，请同学们首先来思考：现有一成年人，你认为影响他体重的因素有哪些？

生：一般有饮食、运动、疾病、遗传等。

师：很好，同学们能想到各种影响体重的因素，有饮食、运动、疾病、遗传等。现在我们要对减肥问题进行数学建模，就要把这个现实问题抽象简化成一个数学问题，希望我们的研究成果能够让更多的人受益。这就需要我们剔除掉随机因素，抓住主要因素进行研究。同学们，你们觉得影响体重的主要因素有哪些？

生：饮食和运动。

引导学生在问题分析中抓住主要因素，剔除随机因素，使我们的研究成果让更多人受益。（板书：饮食和运动）

师：这是我们根据生活常识得到的结论，下面我们看一看营养学家们关于减肥有什么研究成果。我们请语文课代表来读一下材料一。

二、总结规律，建立模型

材料一   营养学家认为：人类需要通过饮食摄入的热量来维持其正常生理功能。当其所摄入的热量恰好维持其消耗所需时，体重保持不变；当其所摄入的热量超过消耗所需时多余的热量会转化为脂肪，体重就会增加；反之，体重就会减少。但是从健康和安全的角度考虑，正常的成年人每周所摄入的热量不能低于10000千卡,每周的体重减少也不宜超过1.5千克。

师：请同学们对材料一进行提炼，思考影响体重的关键因素是什么，体重的变化量满足什么样的数量关系，将你的思考填到下面的表格里。

引导学生对材料进行信息提炼，并思考这背后的体重变化量满足什么样的数量关系。（板书：信息提炼   找出数量关系）

给出解决建模问题的一般思路：先提炼信息，再寻找数量关系。培养学生提炼信息的归纳总结能力。

师：下面请同学们阅读材料二，讨论学案上的三个问题。

材料二   据统计，一般人体每多吸收8000千卡热量会增加体重1千克。在不运动的情况下，成年男性每周每千克体重消耗热量为200~320千卡，那么70千克的男性每周消耗的热量是14000~22400千卡。

阅读材料二后组内讨论3分钟，回答下面3个问题：

（1）增加的体重和吸收的热量有什么样的数量关系？

（2）成年男性每周消耗的热量和体重有什么样的数量关系？

（3）成年男性每周每千克体重代谢消耗热量为200~320千卡而非一个确定的值，这是什么原因？

生：（1）增加的体重和吸收的热量成正比，比值为常数，记为α=。

（2）代谢消耗的热量和体重成正比，比值为常数，记为β。

（3）每个人的比值β有所不同。

设置好问题，环环相扣，不断引导学生思考其背后的数量关系，培养学生用数学的思维思考问题。

师：通过信息提炼我们找出了数量关系：增加的体重和吸收的热量成正比，比值为常数，代谢消耗的热量和体重成正比，比值为常数，记为β，具体比值因人而异。把我们的结论记录到你的学案上。

师：综合材料一和材料二思考：（1）选择哪个时间单位制定减肥计划更合适？

（2）体重一周的变化量应如何测量？

生：（1）以周为单位；（2）用本周末的体重减去上周末的体重。

选择合适的时间单位，为后面的模型做准备。

师：结合我们的研究，请你利用表格中的符号建立第k+1周体重变化的数学模型。

引入符号表示：

 

师：同学们，你能否用上面的符号将我们所得的数量关系符号化？

生：代入可得W-W=αC-αβW即可得W=αC+（1-αβ）W。（板书此数学模型）

师：在这些参数中哪些是已知的，哪些是未知的？

生：α=是定值，β是常数，但因人而异。如果知道了这个人的β值，就可以建立这个人的体重变化模型了。

利用前面的结论，让学生自己推出第k+1周体重变化的数学模型，让学生有参与感，有讨论后的成就感。

师：分析所得模型是否还有其他形式，你是如何思考的？

引导学生思考，鼓励学生提供不同的想法。一起探究背后的区别，并分析哪种更合理。

三、应用模型，解决问题

下面我们应用刚才求得的模型来解决一个具体问题。

今有一成年男子身高1.70米，体重100千克，BMI高达34.6。自述目前每周吸收20000千卡热量，体重长期不变。

师：请同学们根据已知信息建立该男子体重变化模型。

生：体重100千克，每周吸收20000千卡热量，体重长期不变，代入模型W=αC+（1-αβ）W可得100=+（1-）×100，β=200。

由此可得该男子的体重变化模型为W=C+W。

师：这样我们得到了该男子以周为单位的体重变化模型，三个量中如果能够知道其中的两个量，就可以表示出第三个量。

再次强调解决问题的思路：先提炼信息，再将其转化为数量关系，转化为数列问题后，利用所学知识加以解决，增强学生解决问题的信心。

师：下面我们来解决减肥的实际问题。该男子自感过于肥胖，现求助于保健医生，保健医生为他制订了不运动减肥的方案甲和运动减肥的方案乙；

方案甲在基本不运动的情况下安排了两阶段，

第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到安全的下限（10000千卡）；

第二阶段：每周吸收热量保持下限，直至体重减至75千克。

请你使用建立的模型分别计算两个减肥阶段所需时间。

生：第一阶段，体重每周减少1千克，最初的体重为100千克，那么每周的体重就构成一个等差数列，W=100，W=100-k，W=100-（k+1）。

代入模型可得C=12000-200k≥10000，解得k≤10。

第一阶段10周，每周减少1千克，第10周周末体重90千克；

从第11周开始每周吸收的热量为10000千卡，进入第二阶段。

给出利用递推数列求通项公式的具体计算过程。就具体求k的过程给出一般思路，不再进行具体计算。

再次强调解决问题的思路：先提炼信息，再将其转化为数量关系。转化为数列问题后，利用所学知识加以解决，增强学生解决问题的信心。

师：第二阶段，从第11周开始每周吸收热量保持10000千卡，直至体重减至75千克。

代入模型可得：W=W+（k≥10），此时如果知道W则可求得W。这是我们熟悉的什么问题？

生：数列已知递推式求通项公式。

师：你能解决这个问题吗？

生：构造等比数列W-x=（W-x）即W=W+x可得x=50，

数列{W-50}是以W-50=40为首项，为公比的等比数列，

W=40×（）+50。

师：要使W=75，如何求指数中的k？

生：取对数，可得k-10=≈19。

第二阶段19周，每周吸收热量保持10000千卡，体重可减少至75千克。

根据我们已知的条件和所求的目标，设置好问题串，层层推进，转化成学生可以解决的问题。让学生参与其中，不断探索，感受数学在解决实际问题中的巨大作用。

师：在刚才的模型计算过程中，需要我们构造新的数列，利用等比数列的通项公式和计算器求对数得到结果。实际上，在科技发达的今天，模型的计算不是很困难的事情，本题我们在第二阶段建立的递推公式如果通过软件实现，只需4行程序即可。

利用matlab快速实现，现场操作：

>>W（10）=90；

for n=10∶50

W（n+1）=0.975*W（n）+1.25；

end

本节课的重点是建模，解模中的转化技巧要说明，但具体的计算不是重点，可以直接给出结果。通过matlab展示计算的快捷性，让学生感受掌握现代计算工具在实际建模中的巨大作用。

四、问题拓展与模型应用

增加运动减肥的方案乙也是两阶段。

第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到安全的下限；

第二阶段：每周吸收热量保持下限并进行适当的运动，直至体重减至75千克。

根据资料每小时每千克体重消耗的热量γ（千卡）：

 

思考：（1）我们的数学模型有什么变化？

（2）选择一个你感兴趣的运动并设定每天运动的时间，计算第二阶段所需的时间。

师：请同学们思考，增加运动之后，我们的模型要发生变化，是哪一项发生变化呢？

生：β。

师：基本模型为：

W=W+αC-αβ′W。

在提炼信息中，不同的运动项目消耗的热量是不一样的，如果我们选择跑步这项运动，那么这个人消耗的热量和什么有关呢？

生：与运动时间和体重成正比，消耗的能量除了代谢还有运动。

师：根据资料可知每小时每千克体重消耗的热量为γ，那么新的模型应该是什么？

生：新的模型是：

W=W+αC-α（β+γt）W。

师：同学们课下可以将自己感兴趣的运动数据代入新的模型，设定每天运动的时间计算第二阶段的减肥时间，今天这节课我们就不再展开计算。

开放性问题留给学生，让学生按照已有的思路课下继续进行研究，制定不同的减肥计划。

五、减肥总结，模型评价

师：同学们，通过我们对减肥问题的建模及解模，你对减肥有了哪些认识？

生：通过深入分析减肥问题的数学模型可以得到：

减肥策略包括减少饮食和增加运动。首先要控制饮食，每周至少吸收10000千卡的热量。其次要辅助运动，例如每天跑步。

师：同学们，我们所建的模型有哪些优点，又有哪些缺点？

生：1.此模型能够建立时间和体重的函数关系，并且具有较强的普适性。

2.模型较为粗糙，考虑的因素较少，并且假设条件较强，如果要更加精细需要更深的数学知识。

师：很好，同学们说得很全面。针对同一个问题我们可以建立不同的模型，分析不同模型的优缺点，根据实际需要进行选择，我们的数学建模没有最好，只有更好。

引导学生反思工作，寻找工作的亮点，分析缺陷，培养学生的批判意识，为下一步工作找到方向。

六、数学建模的一般步骤

 

七、送给学生热量最高的十种食物的清单

【附】热量最高的十种食物

1.蛋糕：347千卡/100g

2.酥糖：444千卡/100g

3.汉堡：456千卡/100g

4.方便面：473千卡/100g

5.全脂奶粉：491千卡/100g

6.曲奇饼：546千卡/100g

7.薯片：548千卡/100g

8.巧克力：586千卡/100g

9.核桃：654千卡/100g

10.奶油：879千卡/100g

播放音频动画《卡路里》：

拜拜，甜甜圈，珍珠奶茶方便面。

火锅米饭大盘鸡，拿走拿走别客气！

拜拜，咖啡因，戒掉可乐戒油腻。

沙发外卖玩游戏，别再熬夜伤身体！

师：盲目减肥，身体遭殃，科学减肥，安全健康。希望同学们学好数学，用好数学，成就你的美丽人生。

【教学反思】

一、深入研究，寻找适合学生的建模题材

数学建模就在我们身边，所以要多找一些适合学生的建模题材。除了教材中已有的，我们也可以再去寻找一些。大学生数学建模已开展多年并且有很多成熟的研究案例，高中教师可以从中多学习，多找一些学生感兴趣的课题，将其转化为高中生能够解决的问题。等到学生熟悉建模的过程后可以放手让学生自选课题进行研究。

二、问题设置要规划，引导学生深入分析

现实问题的背后都有一定的规律，如何去发现和使用这些规律是我们解决建模问题的关键，这就需要教师带领学生对信息进行提炼。而在一节课中教师的主导地位就体现在问题的设置上。问题的设置要环环相扣并且具体化，切忌大而化之的问题。

三、抽象简化，寻找背后的数量关系

数学建模要用数学的语言来表达，需要我们寻找合适的数学模型。这个过程需要和学生一起讨论，要敢于放开讨论，让学生找到不同的解决思路，再和学生一起探讨哪种方式更合理。

四、模型求解，展示多种方法

首先将问题转化成高中生能够解决的问题，让学生感受通过学习的数列解决现实问题的成就感；其次通过展示matlab解决问题的便捷性，鼓励学生多学习编程的知识，通过掌握先进的技术来解决问题。

五、德育渗透，培养应用意识

数学来源于生活，同样应用于生活。通过对现实问题的不断拓展，逐渐优化我们的模型，让学生发现：体重可以自己控制，人生也掌握在自己手中。最后让学生就我们的数学建模进行总结感悟，提高学生分析问题和总结经验的能力。

 

 

（《山东教育》2021年12月第50期）