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专注于学生思维能力培养的数学教学

发布日期 : 2020-09-17 点击次数 : 来源 : 《山东教育》中学刊

山东省泰安第二中学   曹炳友

 

作者简介

 

曹炳友,泰安二中校务委员会执行主任,正高级教师。山东省首批齐鲁名师名校长领航工作室主持人、山东省教育学会理事、山东省远程研修课程专家、泰安市名师工作室领衔人、泰安市教育科学学术委员会委员、泰山学院客座教授。先后获得“全国优秀教师”“首届齐鲁名师”“山东省特级教师”“齐鲁最美教师”“山东省教学能手”“泰安市专业技术拔尖人才”“泰山功勋教师”等荣誉称号。在2017年《光明日报》、光明网举办的寻找“大国良师”公益活动中,获“大国良师”荣誉称号。

 

作为一名数学教师,都会问自己一个问题:数学教学的任务是什么?在我看来,数学教学的任务是在教给学生数学知识、数学思想方法的基础上,培养学生的数学思维能力。也就是说,数学教学的核心任务是教会学生如何思考和解决数学问题。基于这种认识,我从教学工作之初,就设计了培养学生思维能力的计划和具体措施,并落实于课堂教学研究和实践中。

一、启发式教学的探索过程

数学教学不应该用“满堂灌”的方式,把教材上的内容原样“搬进”学生的大脑,而应当在创设教学情境的基础上,引导学生自己去思考和发现,这个过程就是“启发”,启发式教学的特征在于发挥教师的“主导”作用。我重点采取了以下启发的方法:

(一)目标启发

众所周知,教学目标是课堂教学设计与实施的重要因素,教学目标是课堂教学行为的指向和归宿,目标具有引领和启发作用。在目标的启发下,学生能集中精力寻找达成目标的措施,积极主动地设计达成目标的路径。例如,在教学“三垂线定理”时,我提出了这样的目标:“在经历过大量的由线面垂直得线线垂直的训练后,本节课我们学习证明线线垂直的一种简洁的方法———三垂线定理”。同学们听到证明线线垂直的简洁的方法,立刻瞪大了眼睛。给出“三垂线定理”的证明并举例应用后,大家脸上露出了轻松的表情。随后学生在练习三垂线定理的问题时,进行得得心应手。这节课的目标对学生的情绪和求知欲起到了很好的启发作用。

(二)情境启发

在学习一个新知识时,创设合适的情境有利于学生集中注意力和对新知识的理解,此时情境对学习者的情绪和思维起到了很好的启发作用。在教学“数学归纳法”时,我创设了这样的教学情境:用香烟盒做“多米诺骨牌”试验。第一次,相邻两个站立的烟盒的距离小于烟盒的高度,当推倒第一个烟盒后,其余所有烟盒都顺次倒下。第二次,烟盒的排列与第一次一样,但这次不是推倒的第一个,而是推倒的第三个,结果第三个及以后的烟盒都顺次倒下,但前两个烟盒没有倒下。第三次,在第一次摆放的烟盒中,有意识地拉大第五个烟盒和第六个烟盒的距离(超过烟盒的高度),结果当推倒第一个烟盒后,只有前五个烟盒倒下,第六个及以后的烟盒均未倒下。之后与学生一起分析了试验成功的条件有两个:第一,保证第一个烟盒倒下;第二,保证前一个倒下后,紧接着的一个必须倒下。两个条件缺一不可。

由此情境,植入一个数学问题:对于一个与正整数有关的数学命题,要证明此命题对给定范围内的任意正整数n都成立,(1)验证n=n时,命题成立;(2)假设n=kkn)时命题成立,证明n=k+1时命题成立,由(1)和(2)知,命题对给定范围内的任意正整数n都成立。这就是“数学归纳法”原理。从试验的过程和结果来看,数学归纳法的原理是合理的,这样来设置情境,对学生理解知识具有很好的启发作用。

(三)质疑启发

“学起于思,思源于疑。”心理学认为,疑最容易引起定向—探究反射。有了这种反射,思维就会应运而生。因此,适当地设“疑”,激发学生的兴趣,使学生学有所思,思有所悟,设想种种解决问题的方案,思路就会渐渐清晰,自然地由疑到信,从而收到理想的效果。教学“函数的单调性与最值”时,提出了这样的问题:“既然数列是一种特殊的函数,那么数列的最大项也可以借助于用导数求函数最值的方法进行。请大家通过具体问题探究这种想法的可靠性。”经过探究,学生得出了以下结论:有的数列能用导数求最大项,有的则不能。当问到学生其中的原因时,学生还无法说得十分清楚。事实上,数列虽是函数,但它不是连续函数,用导数讨论函数最值时,函数在取到最值时的自变量的周围是连续的,因此将数列看作函数,用导数来求最大项时,其函数取到最值时的自变量的值不一定是一个整数值,除非再比较n取这个自变量周围的整数所对应的数列中项的大小。随后给出了求数列最大项的方法。在这里,质疑启发了大家区别求函数最值和求数列最大项的不同的方法。

(四)分析启发

分析就是“执果索因”,教师引导学生从命题的结论入手,逐步分析使结论成立的条件,这样一步一步逆推,一直找到题目的条件,或公理、定理、性质、法则、公式等,从而证明结论的真实性的思维方法。过程中的关键是通过教师的引导和启发,让学生产生联系和联想,通过一定的途径自觉地把结论和已知进行联系,从而找到解决问题的思路。分析启发对于培养学生的逻辑思维能力有着十分积极的意义,这种思维方式是数学思维活动中应用最普遍的思维方式之一,它广泛地应用在解题思路的形成,定理、公式、性质等证明方法的形成过程之中。教学中我刻意训练学生的这种分析能力,取得了较好的教学效果。

(五)直观启发

数学家华罗庚说:“数缺形时少直观,形少数时难入微。”抽象的问题通过一定形式的直观表现,会产生渐渐明晰的思路和方法。直观的形式可以是实物、模型、课件、图形等。教学中,必要时我会就地取材为学生演示“直观”的效果。为了帮助学生理解“坐标平面内一条长度有限的曲线段(某一函数图象)和过两端点向x轴的垂线及x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周形成几何体的体积”,我在课堂上向学生展示了将一水萝卜沿横断面切成片,再将这些片摞起来恢复成原来的水萝卜形态,以此感受“面积”积分得“体积”的思维过程。另外,授课时,我会花一定的时间把图形画得规范、清晰、美观,以此增强直观效果,帮助学生理解题意,迅速获得解题方法。

(六)模型启发

数学中有很多模型,如方程模型、不等式模型、函数模型、数列模型、古典概型、几何概型、椭圆模型、双曲线模型、抛物线模型等,除此之外,具体到解题时,我们会总结出一些相对固定的模型,如均值不等式模型、双钩函数模型、点差法解题模型、反比例型函数模型〔y=adbc)〕、长方体(含正方体)模型、长方体(含正方体)外接球模型,等等。一旦有了模型化的意识,学生就能在短时间内找到解决某类问题的规律性的方法。当然,训练模型化思维,不等于将学生的思维模式化和教条化,而是训练学生分析、联想、归类的思维方法,提高分析问题解决问题的能力。

启发式教学的探索,培养了学生的兴趣,开阔了学生的思路,初步锻炼了学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力,增强了学生学好数学和战胜困难的信心。

二、MM教育方式”的探索过程

MM教育方式”是指用数学方法论的思想指导数学教学,其核心是“既教猜想,又教证明”,对于某些问题,鼓励学生猜想问题的结论,而后用所学的知识和方法去证明自己的猜想,这是一种发现新知识的方法。这个阶段教学的特征突出学生的“主体”作用。这种教学思想对训练学生的想象力和创新性思维是大有好处的。1997年春节过后,我自费去天津拜访全国著名特级教师杨之老师,杨老师详细为我介绍了“MM教育方式”的设计思想和实践收获。回校后结合自身的教学特点,我身体力行地做了许多有益的探索。

(一)直觉与猜想

直觉思维,是指对一个问题未经逐步分析,仅依据内因的感知迅速地对问题的解法、答案做出判断、猜想、设想,或者百思不得其解之时,突然对问题有“灵感”和“顿悟”,都属于直觉思维。在数学学习中,经常可以通过直觉猜想出结果或解题方法。

如已知abcd都是实数,

求证:+.

思路分析:从题目的外表形式观察,我们的直观感受是两点之间的距离公式,不等式左边为点Aab)和点Bcd)到坐标原点的距离和,右边表示点A与点B之间的距离,根据两点间距离以线段为最短,不等式获证,其中AOB共线(AB位于点O两侧时取等号)。这种思路的形成基于数形结合的思想。

(二)实验与猜想

瑞士数学家欧拉曾说:“数学这门学科,需要观察,还需要实验。许多定理都是靠实验、归纳发现的,证明只是补充的手续。”越是抽象难以理解的内容,越需要转化成可操作、可触摸的实验来加以理解、加深印象。

以建立椭圆的概念为例:

实验准备:纸板、一根细绳、两颗图钉;

实验步骤:将细绳的两端用图钉固定在纸板上的两点,当绳长大于两点间的距离时,用铅笔把绳子拉紧,使铅笔在纸板上慢慢移动,观察得到的是什么图形。在此基础上再提出如下问题:

1)纸板上的作图说明了什么?

2)在绳长不变的情况下,改变两个图钉的位置,图形会怎么变化?

这就很形象地理解了椭圆。

(三)探索与猜想

探索性猜想是指运用尝试探索的方法,根据已有的知识和经验,对要研究的问题做出逼近结论方向的猜想,并证明猜想的真实性,从而获得问题结论的思维方法。例如,已知抛物线Cy2=x上一点M1-1),点AB是抛物线C上的两动点,且MAMB,则点M到直线AB的距离的最大值是_____

分析:要使点M到直线AB有最大距离,直线AB必然有一定的特征,联想类似的问题:AB是抛物线y2=2px上的两动点,O是坐标原点,若OAOB,证明直线AB过定点。探索直线AB是否过定点。经过尝试探索,直线AB过定点N21),从而当MNAB时,点M到直线AB的距离最大,最大值为。

(四)归纳与猜想

当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时,可从问题的简单情形或特殊情况入手,通过对简单情形或特殊情况的试验,从中发现一般规律或作出某种猜想,从而找到解决问题的途径或方法,这种研究问题的方法叫归纳猜想法。归纳是建立在细致而深刻的观察基础上,发现往往是从观察开始的,通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况。数与式、几何图形、数列等结构的规律,需要通过归纳去发现,而后再给予严格的证明。

例如,古代埃及数学中发现有一个独特现象:除用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若干个单分数和的形式。例如=+。可以这样理解:假定有两个面包,要平均分给5个人,如果每人,不够,每人,余,再将这分成5份,每人得,这样每人分得+。形如(n=234,…)的分数的分解:=+=+=+,按此规律,=n=234,…)。通过对n=234结果的归纳,得出=+

(五)类比与猜想

类比是根据两个对象在某些属性上相同或相似,通过比较而推断出它们在其他属性上也相同的推理过程。它是从观察个别现象开始的,因而近似于归纳推理,但它不是从特殊到一般,而是从特殊到特殊,因而又不同于归纳推理。

例如,由于球与圆定义类似,我们经常将球与圆进行类比,通过圆的性质发现球的性质,如圆心与圆的弦的中点连线垂直于弦,球心与截面圆圆心连线垂直于截面圆;圆的内接长方形类比球的内接长方体,长方形的对角线为圆的直径,可得长方体的对角线为球的直径;将直角三角形与直四面体(三个面两两垂直的四面体)类比,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,直四面体三个两两垂直面的面积平方和等于第四个面面积的平方。

MM教育方式”的探索,较好地培养了学生思维的发散性和创新性,能够引导学生按照一定的思维规律(实验、归纳、类比等)对问题和问题的结论提出合理的猜想,然后用严谨的方法证明,尽管猜想的结论不一定正确,但它在发现新知识新问题等方面迈出了可喜的一步。

三、“思考性课堂”的探索过程

“思考性课堂”是一种围绕教学要求,充分设计对理解和掌握教材核心内容有帮助作用的优质问题,课堂上通过引导学生对这些问题进行思考和解答,并辅以教师对学生思考结果的评价和调节,从而使学生深刻理解和掌握学习内容的教学范式。

优质问题的设计、学生的思考活动、教师对学生思考结果的评价,是“思考性课堂”的三大要素。“思考性课堂”旨在培养学生的思维能力,显然这种教学活动既突出了教师的主导作用(问题设计、教学评价),又突出了学生的主体作用(学生的思考活动)。

怎样设计高质量的问题以帮助学生理解知识呢?遵循由简单到复杂、由具体到抽象、由特殊到一般、由有限到无限、由低维到高维等原则,设计某种知识情境、具体例子、思考方法,为学生理解新知识做好铺垫。例如,对于函数单调性:设函数fx)的定义域为I,如果对定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值xx,当xx时,总有fx)<fx),那么就说fx)区间D上是增函数。如何理解其中xx的任意性,这将是我们把握函数单调性这个核心概念的关键。在这里我们不妨遵循从个别到一般、从有限到无限的思维过程设计问题去理解定义中xx的任意性。若D不是一个区间,而是一般的数集,这个数集上仅有两个数xx,当xx时,总有fx)<fx),显然这时fx)是一个增函数;如果这个数集上从两个数增加到三个数xxx,满足xx时,有fx)<fx);满足xx时,有fx)<fx),此时xx,且fx)<fx),这时必然有:对三个数xxx,任取其中两个数,当第一个数小于第二个数时,总有第一个数对应的函数值小于第二个数对应的函数值,函数在这个数集上是单调递增的。把这种情形推广到n个数xxx,…,x,此时,对于其中任意的两个量xx,当xx时,总有fx)<fx),说明函数在这个数集上是递增的。如果把这样一个数集推广到一个区间D,就形成了以下结论:在区间D上任取两个自变量xx,当xx时,总有fx)<fx),那么函数在这个区间D上就是增函数。这样一个理解过程,既符合学生的认知特点,又符合事物发展的规律。

课堂上学生思考活动的开展。学生的思考活动和思考成果的展示是“思考性课堂”的主体活动,在课堂进行到某一核心知识或知识的难点时,教师及时呈现出预先设计好的问题供大家独立思考,之后择时让相应水平的一个或几个学生回答这一问题。如果学生回答问题的质量不高,甚至找不到解决问题的基本思路,教师可适当给予一定的提示或在解决问题的背景上适当铺垫,以帮助学生继续思考这一问题,直至学生对该问题有一定的理解,这样做的意义是让学生在回答问题的过程中学到知识、赢得信心。教师让学生回答问题,不是对这个学生就这一问题给予其终结性的评价,而是给予该生一次锻炼和提高的机会,因此,教师也要帮助学生把握这个提高的机会;如果不同同学对同一个问题的理解情况差异较大,则有必要组织小组讨论活动,此时学生的思维差异便是小组讨论的资源。

教师的评价调节活动。教师提问时,如果学生对问题的回答很顺利,质量较高,教师则不吝惜美丽的词语表扬学生,并概括出学生的思维特点,让回答问题的学生受到激励。然而也有一部分学生由于原有相关知识和经验积累的欠缺,会在一定程度上影响当前问题的思考进程和思考效果。此时教师应在充分肯定学生答对部分的同时,指出学生回答问题中的不足甚至错误之处,与此同时,循循善诱帮助该生分析错误的原因,将其思路引导到正确的轨道上来,进一步鼓励该生继续思考和解答这个问题,让学生感受到成功的喜悦。当遇到预先设计的问题难度较大时,教师可依据学生的水平,灵活调整问题的难度,或让学生就问题的部分方面作答,使回答问题的学生感受到自己的进步。总之,教师应想方设法保护发言人的自尊心,保护他们学习数学及思考问题的积极性。

思考性课堂因其三大环节(问题设计、思考活动、评价调节)都有较高的思维含量,学生时时刻刻都处在积极思考的状态,思考成了学生学习活动的常态,因此,它对学生思维习惯、思维品质、思维能力的培养全面而系统,透过学生的课堂回答、作业练习、考试检测,都能明显地发现学生思维能力的提升。

几十年的数学教学工作,虽经历着教学理念、教学要求(教学大纲、课程标准)、教材、教学模式的不断变迁,但不变的是对数学教学功能的定位:让学生在全面而系统地掌握数学知识的同时,形成和发展适应现代生活和社会发展需求的思维能力和创新能力。这将是我今后不变的追求。

 

 

(《山东教育》202078月第2930期)

 

 

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