专注于学生思维能力培养的数学教学

山东省泰安第二中学   曹炳友

作者简介

曹炳友，泰安二中校务委员会执行主任，正高级教师。山东省首批齐鲁名师名校长领航工作室主持人、山东省教育学会理事、山东省远程研修课程专家、泰安市名师工作室领衔人、泰安市教育科学学术委员会委员、泰山学院客座教授。先后获得“全国优秀教师”“首届齐鲁名师”“山东省特级教师”“齐鲁最美教师”“山东省教学能手”“泰安市专业技术拔尖人才”“泰山功勋教师”等荣誉称号。在2017年《光明日报》、光明网举办的寻找“大国良师”公益活动中，获“大国良师”荣誉称号。

作为一名数学教师，都会问自己一个问题：数学教学的任务是什么？在我看来，数学教学的任务是在教给学生数学知识、数学思想方法的基础上，培养学生的数学思维能力。也就是说，数学教学的核心任务是教会学生如何思考和解决数学问题。基于这种认识，我从教学工作之初，就设计了培养学生思维能力的计划和具体措施，并落实于课堂教学研究和实践中。

一、启发式教学的探索过程

数学教学不应该用“满堂灌”的方式，把教材上的内容原样“搬进”学生的大脑，而应当在创设教学情境的基础上，引导学生自己去思考和发现，这个过程就是“启发”，启发式教学的特征在于发挥教师的“主导”作用。我重点采取了以下启发的方法：

（一）目标启发

众所周知，教学目标是课堂教学设计与实施的重要因素，教学目标是课堂教学行为的指向和归宿，目标具有引领和启发作用。在目标的启发下，学生能集中精力寻找达成目标的措施，积极主动地设计达成目标的路径。例如，在教学“三垂线定理”时，我提出了这样的目标：“在经历过大量的由线面垂直得线线垂直的训练后，本节课我们学习证明线线垂直的一种简洁的方法———三垂线定理”。同学们听到证明线线垂直的简洁的方法，立刻瞪大了眼睛。给出“三垂线定理”的证明并举例应用后，大家脸上露出了轻松的表情。随后学生在练习三垂线定理的问题时，进行得得心应手。这节课的目标对学生的情绪和求知欲起到了很好的启发作用。

（二）情境启发

在学习一个新知识时，创设合适的情境有利于学生集中注意力和对新知识的理解，此时情境对学习者的情绪和思维起到了很好的启发作用。在教学“数学归纳法”时，我创设了这样的教学情境：用香烟盒做“多米诺骨牌”试验。第一次，相邻两个站立的烟盒的距离小于烟盒的高度，当推倒第一个烟盒后，其余所有烟盒都顺次倒下。第二次，烟盒的排列与第一次一样，但这次不是推倒的第一个，而是推倒的第三个，结果第三个及以后的烟盒都顺次倒下，但前两个烟盒没有倒下。第三次，在第一次摆放的烟盒中，有意识地拉大第五个烟盒和第六个烟盒的距离（超过烟盒的高度），结果当推倒第一个烟盒后，只有前五个烟盒倒下，第六个及以后的烟盒均未倒下。之后与学生一起分析了试验成功的条件有两个：第一，保证第一个烟盒倒下；第二，保证前一个倒下后，紧接着的一个必须倒下。两个条件缺一不可。

由此情境，植入一个数学问题：对于一个与正整数有关的数学命题，要证明此命题对给定范围内的任意正整数n都成立，（1）验证n=n时，命题成立；（2）假设n=k（k≥n）时命题成立，证明n=k+1时命题成立，由（1）和（2）知，命题对给定范围内的任意正整数n都成立。这就是“数学归纳法”原理。从试验的过程和结果来看，数学归纳法的原理是合理的，这样来设置情境，对学生理解知识具有很好的启发作用。

（三）质疑启发

“学起于思，思源于疑。”心理学认为，疑最容易引起定向—探究反射。有了这种反射，思维就会应运而生。因此，适当地设“疑”，激发学生的兴趣，使学生学有所思，思有所悟，设想种种解决问题的方案，思路就会渐渐清晰，自然地由疑到信，从而收到理想的效果。教学“函数的单调性与最值”时，提出了这样的问题：“既然数列是一种特殊的函数，那么数列的最大项也可以借助于用导数求函数最值的方法进行。请大家通过具体问题探究这种想法的可靠性。”经过探究，学生得出了以下结论：有的数列能用导数求最大项，有的则不能。当问到学生其中的原因时，学生还无法说得十分清楚。事实上，数列虽是函数，但它不是连续函数，用导数讨论函数最值时，函数在取到最值时的自变量的周围是连续的，因此将数列看作函数，用导数来求最大项时，其函数取到最值时的自变量的值不一定是一个整数值，除非再比较n取这个自变量周围的整数所对应的数列中项的大小。随后给出了求数列最大项的方法。在这里，质疑启发了大家区别求函数最值和求数列最大项的不同的方法。

（四）分析启发

分析就是“执果索因”，教师引导学生从命题的结论入手，逐步分析使结论成立的条件，这样一步一步逆推，一直找到题目的条件，或公理、定理、性质、法则、公式等，从而证明结论的真实性的思维方法。过程中的关键是通过教师的引导和启发，让学生产生联系和联想，通过一定的途径自觉地把结论和已知进行联系，从而找到解决问题的思路。分析启发对于培养学生的逻辑思维能力有着十分积极的意义，这种思维方式是数学思维活动中应用最普遍的思维方式之一，它广泛地应用在解题思路的形成，定理、公式、性质等证明方法的形成过程之中。教学中我刻意训练学生的这种分析能力，取得了较好的教学效果。

（五）直观启发

数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”抽象的问题通过一定形式的直观表现，会产生渐渐明晰的思路和方法。直观的形式可以是实物、模型、课件、图形等。教学中，必要时我会就地取材为学生演示“直观”的效果。为了帮助学生理解“坐标平面内一条长度有限的曲线段（某一函数图象）和过两端点向x轴的垂线及x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周形成几何体的体积”，我在课堂上向学生展示了将一水萝卜沿横断面切成片，再将这些片摞起来恢复成原来的水萝卜形态，以此感受“面积”积分得“体积”的思维过程。另外，授课时，我会花一定的时间把图形画得规范、清晰、美观，以此增强直观效果，帮助学生理解题意，迅速获得解题方法。

（六）模型启发

数学中有很多模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、数列模型、古典概型、几何概型、椭圆模型、双曲线模型、抛物线模型等，除此之外，具体到解题时，我们会总结出一些相对固定的模型，如均值不等式模型、双钩函数模型、点差法解题模型、反比例型函数模型〔y=（ad≠bc）〕、长方体（含正方体）模型、长方体（含正方体）外接球模型，等等。一旦有了模型化的意识，学生就能在短时间内找到解决某类问题的规律性的方法。当然，训练模型化思维，不等于将学生的思维模式化和教条化，而是训练学生分析、联想、归类的思维方法，提高分析问题解决问题的能力。

启发式教学的探索，培养了学生的兴趣，开阔了学生的思路，初步锻炼了学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力，增强了学生学好数学和战胜困难的信心。

二、“MM教育方式”的探索过程

“MM教育方式”是指用数学方法论的思想指导数学教学，其核心是“既教猜想，又教证明”，对于某些问题，鼓励学生猜想问题的结论，而后用所学的知识和方法去证明自己的猜想，这是一种发现新知识的方法。这个阶段教学的特征突出学生的“主体”作用。这种教学思想对训练学生的想象力和创新性思维是大有好处的。1997年春节过后，我自费去天津拜访全国著名特级教师杨之老师，杨老师详细为我介绍了“MM教育方式”的设计思想和实践收获。回校后结合自身的教学特点，我身体力行地做了许多有益的探索。

（一）直觉与猜想

直觉思维，是指对一个问题未经逐步分析，仅依据内因的感知迅速地对问题的解法、答案做出判断、猜想、设想，或者百思不得其解之时，突然对问题有“灵感”和“顿悟”，都属于直觉思维。在数学学习中，经常可以通过直觉猜想出结果或解题方法。

如已知a，b，c，d都是实数，

求证：+≥.

思路分析：从题目的外表形式观察，我们的直观感受是两点之间的距离公式，不等式左边为点A（a，b）和点B（c，d）到坐标原点的距离和，右边表示点A与点B之间的距离，根据两点间距离以线段为最短，不等式获证，其中A，O，B共线（A，B位于点O两侧时取等号）。这种思路的形成基于数形结合的思想。

（二）实验与猜想

瑞士数学家欧拉曾说：“数学这门学科，需要观察，还需要实验。许多定理都是靠实验、归纳发现的，证明只是补充的手续。”越是抽象难以理解的内容，越需要转化成可操作、可触摸的实验来加以理解、加深印象。

以建立椭圆的概念为例：

实验准备：纸板、一根细绳、两颗图钉；

实验步骤：将细绳的两端用图钉固定在纸板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使铅笔在纸板上慢慢移动，观察得到的是什么图形。在此基础上再提出如下问题：

（1）纸板上的作图说明了什么？

（2）在绳长不变的情况下，改变两个图钉的位置，图形会怎么变化？

这就很形象地理解了椭圆。

（三）探索与猜想

探索性猜想是指运用尝试探索的方法，根据已有的知识和经验，对要研究的问题做出逼近结论方向的猜想，并证明猜想的真实性，从而获得问题结论的思维方法。例如，已知抛物线C：y2=x上一点M（1，-1），点A，B是抛物线C上的两动点，且MA⊥MB，则点M到直线AB的距离的最大值是_____。

分析：要使点M到直线AB有最大距离，直线AB必然有一定的特征，联想类似的问题：A，B是抛物线y2=2px上的两动点，O是坐标原点，若OA⊥OB，证明直线AB过定点。探索直线AB是否过定点。经过尝试探索，直线AB过定点N（2，1），从而当MN⊥AB时，点M到直线AB的距离最大，最大值为。

（四）归纳与猜想

当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情况入手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法。归纳是建立在细致而深刻的观察基础上，发现往往是从观察开始的，通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况。数与式、几何图形、数列等结构的规律，需要通过归纳去发现，而后再给予严格的证明。

例如，古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单分数和的形式。例如=+。可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+。形如（n=2，3，4，…）的分数的分解：=+，=+，=+，按此规律，=（n=2，3，4，…）。通过对n=2，3，4结果的归纳，得出=+。

（五）类比与猜想

类比是根据两个对象在某些属性上相同或相似，通过比较而推断出它们在其他属性上也相同的推理过程。它是从观察个别现象开始的，因而近似于归纳推理，但它不是从特殊到一般，而是从特殊到特殊，因而又不同于归纳推理。

例如，由于球与圆定义类似，我们经常将球与圆进行类比，通过圆的性质发现球的性质，如圆心与圆的弦的中点连线垂直于弦，球心与截面圆圆心连线垂直于截面圆；圆的内接长方形类比球的内接长方体，长方形的对角线为圆的直径，可得长方体的对角线为球的直径；将直角三角形与直四面体（三个面两两垂直的四面体）类比，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，直四面体三个两两垂直面的面积平方和等于第四个面面积的平方。

“MM教育方式”的探索，较好地培养了学生思维的发散性和创新性，能够引导学生按照一定的思维规律（实验、归纳、类比等）对问题和问题的结论提出合理的猜想，然后用严谨的方法证明，尽管猜想的结论不一定正确，但它在发现新知识新问题等方面迈出了可喜的一步。

三、“思考性课堂”的探索过程

“思考性课堂”是一种围绕教学要求，充分设计对理解和掌握教材核心内容有帮助作用的优质问题，课堂上通过引导学生对这些问题进行思考和解答，并辅以教师对学生思考结果的评价和调节，从而使学生深刻理解和掌握学习内容的教学范式。

优质问题的设计、学生的思考活动、教师对学生思考结果的评价，是“思考性课堂”的三大要素。“思考性课堂”旨在培养学生的思维能力，显然这种教学活动既突出了教师的主导作用（问题设计、教学评价），又突出了学生的主体作用（学生的思考活动）。

怎样设计高质量的问题以帮助学生理解知识呢？遵循由简单到复杂、由具体到抽象、由特殊到一般、由有限到无限、由低维到高维等原则，设计某种知识情境、具体例子、思考方法，为学生理解新知识做好铺垫。例如，对于函数单调性：设函数f（x）的定义域为I，如果对定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值x，x，当x＜x时，总有f（x）＜f（x），那么就说f（x）区间D上是增函数。如何理解其中x，x的任意性，这将是我们把握函数单调性这个核心概念的关键。在这里我们不妨遵循从个别到一般、从有限到无限的思维过程设计问题去理解定义中x，x的任意性。若D不是一个区间，而是一般的数集，这个数集上仅有两个数x，x，当x＜x时，总有f（x）＜f（x），显然这时f（x）是一个增函数；如果这个数集上从两个数增加到三个数x，x，x，满足x＜x时，有f（x）＜f（x）；满足x＜x时，有f（x）＜f（x），此时x＜x，且f（x）＜f（x），这时必然有：对三个数x，x，x，任取其中两个数，当第一个数小于第二个数时，总有第一个数对应的函数值小于第二个数对应的函数值，函数在这个数集上是单调递增的。把这种情形推广到n个数x，x，x，…，x，此时，对于其中任意的两个量x和x，当x＜x时，总有f（x）＜f（x），说明函数在这个数集上是递增的。如果把这样一个数集推广到一个区间D，就形成了以下结论：在区间D上任取两个自变量x，x，当x＜x时，总有f（x）＜f（x），那么函数在这个区间D上就是增函数。这样一个理解过程，既符合学生的认知特点，又符合事物发展的规律。

课堂上学生思考活动的开展。学生的思考活动和思考成果的展示是“思考性课堂”的主体活动，在课堂进行到某一核心知识或知识的难点时，教师及时呈现出预先设计好的问题供大家独立思考，之后择时让相应水平的一个或几个学生回答这一问题。如果学生回答问题的质量不高，甚至找不到解决问题的基本思路，教师可适当给予一定的提示或在解决问题的背景上适当铺垫，以帮助学生继续思考这一问题，直至学生对该问题有一定的理解，这样做的意义是让学生在回答问题的过程中学到知识、赢得信心。教师让学生回答问题，不是对这个学生就这一问题给予其终结性的评价，而是给予该生一次锻炼和提高的机会，因此，教师也要帮助学生把握这个提高的机会；如果不同同学对同一个问题的理解情况差异较大，则有必要组织小组讨论活动，此时学生的思维差异便是小组讨论的资源。

教师的评价调节活动。教师提问时，如果学生对问题的回答很顺利，质量较高，教师则不吝惜美丽的词语表扬学生，并概括出学生的思维特点，让回答问题的学生受到激励。然而也有一部分学生由于原有相关知识和经验积累的欠缺，会在一定程度上影响当前问题的思考进程和思考效果。此时教师应在充分肯定学生答对部分的同时，指出学生回答问题中的不足甚至错误之处，与此同时，循循善诱帮助该生分析错误的原因，将其思路引导到正确的轨道上来，进一步鼓励该生继续思考和解答这个问题，让学生感受到成功的喜悦。当遇到预先设计的问题难度较大时，教师可依据学生的水平，灵活调整问题的难度，或让学生就问题的部分方面作答，使回答问题的学生感受到自己的进步。总之，教师应想方设法保护发言人的自尊心，保护他们学习数学及思考问题的积极性。

思考性课堂因其三大环节（问题设计、思考活动、评价调节）都有较高的思维含量，学生时时刻刻都处在积极思考的状态，思考成了学生学习活动的常态，因此，它对学生思维习惯、思维品质、思维能力的培养全面而系统，透过学生的课堂回答、作业练习、考试检测，都能明显地发现学生思维能力的提升。

几十年的数学教学工作，虽经历着教学理念、教学要求（教学大纲、课程标准）、教材、教学模式的不断变迁，但不变的是对数学教学功能的定位：让学生在全面而系统地掌握数学知识的同时，形成和发展适应现代生活和社会发展需求的思维能力和创新能力。这将是我今后不变的追求。

（《山东教育》2020年7、8月第29、30期）