我国的数学教育怎样才能培养出杰出人才

　　2009年10月12日，人民日报全文刊载了温家宝总理的文章《教育大计   教师为本》。这篇文章是温总理于2009年9月4日到北京三十五中学听了5节课后的点评以及座谈会上听取教师代表发言后的讲话。

　　温总理对数学课的点评，表明了他对初中数学及其教学是十分熟悉的，是内行，其对教师教学的评价也是中肯而又恰当的。温总理的文章标题———“教育大计   教师为本”，可谓一语中的，它指出了当前整个中小学教育，包括数学教育在内，发展的根本是教师。抓这个根本展开工作，是中小学教育改革与发展的重中之重。温总理听课、评课、讲话的指向均是教师。他说，百年大计，教育为本；教育大计，教师为本，如果说教育是国家发展的基石，教师就是基石的奠基者。他提出，教师是知识的传播者和创造者，要不断地用新的知识充实自己。教师只有学而不厌，才能做到诲人不倦。

一、产出杰出人才   务必以教师为本

　　温总理在文章中提到：钱学森曾问他，为什么现在我们的学校总是培养不出杰出人才？钱学森就这个问题问过温总理五六次。温总理说：我理解，钱学森讲的杰出人才不是我们说的一般人才，而是像他那样有重大成就的人才。如果拿这个标准来衡量，我们这些年甚至建国以来培养的人才，尤其是杰出人才，确实不能满足国家的需要，还不能说在世界上占到应有的地位。温总理还指出，我们出去这么多留学生，也成长了一批人才，充实了各行各业，但确实很少有像李四光、钱学森、钱三强那样的世界著名人才。

　　目前的情况是，有关方面显然还没有意识到中小学数学教师在我国是被长期扭曲塑造的。教师们热衷的各种数学教学目标均将数学教育之根本的意义———“培养求原理、讲道理、懂科学、有智慧、究根底、会思考的人”的要求抛之九霄云外，所执之数学教学目标，一是为考试服务，二是“假、大、空”。

　　可以猜想，钱学森向温总理提出这个问题时，他内心和总理一样实际上是知道答案的。他是过来人，他知道应该如何做，只是他可能不大了解近几十年来中国中小学数学教育的细节。他熟知或了解的是早已流逝的过去。他本人在中国上个世纪的二三十年代曾经享受过高水平的中学数学教育，他的中学数学老师是傅种孙。

二、中国的数学教育大师———傅种孙

　　傅种孙（1898-1962）当时在北京师大附中教几何。他教几何时，每逢考试，必预先告诉学生要带圆规和直尺。但当时的学生大多不是很认真，常常忘带，考试时临时抱佛脚，就用铅笔杆代替直尺，再从兜里拿出一个铜圆（形同现在流通的硬币）来画图。针对这个情形，傅先生干脆出了一个题目，让学生研究：“用一个铜圆代替圆规，能否作直尺与圆规所能做的一切工作？”显然，傅先生的这道题对学生来说应该算是具有挑战性的问题。

　　众所周知，平面几何作图工具仅限于圆规和直尺。其中，直尺是没有刻度的，是一根具有理想的直且有有限长度的“棍子”。傅先生的学生用铅笔充当直尺虽不符合要求，但还不算离谱。用铅笔一类的物品充当直尺的关键不在于它是否是直的以及能否利用它画得很直，而在于画图者的观念或思想是否把它看作直线或线段。公元前三世纪以前，即欧几里得的《几何原本》诞生之前，圆规和直尺曾被当时的数学工作者看成是地位平等的画图工具。人们在作图时，对利用圆规和直尺，或只用圆规或只用直尺是不加区别的。当时的人们有个风气，喜欢以增加问题条件的严格性来挑战问题，用以证明自己比别人更有智慧。他们不断地给问题设立苛刻的条件或前提，例如，在平面上作图只用直尺行不行、只用圆规行不行等，用以挑战智慧的极限。之后，欧几里得撰写教科书《几何原本》（这是世界上第一本传播科学真理和方法的教科书，建议专门研究“课程与教学论”的专家首先应该读懂这本书）时，才规定了以圆规和直尺为几何作图的基础。

　　在之后的两千年里，用尺规作图的研究并未停顿，直到1797年，意大利数学家Mascheroni证明了“所有用圆规和直尺可解的作图问题，只用圆规也能够精确地解决”。

　　1833年瑞士数学家Steiner证明了：在平面上给出一个定圆和它的中心，则每个用圆规和直尺可解的作图题，只用直尺也能够解决。19世纪，非欧几何产生，尺规作图仍是具有挑战性的问题，数学家们随即证明了在罗巴切夫斯基平面上也可以不用直尺作图。另外，对尺规作图问题的研究也导致了19世纪的一些重要的数学进展，例如，群论的产生就是作图问题代数化所促成的结果。

　　说到这儿，傅先生让学生研究的利用一个铜圆作图的问题相当于几何中的什么要求呢？傅先生把这个问题干脆称为“铜圆几何学”。这个几何学比只用圆规作图的几何学还要苛刻。是否比“固定脚开度的圆规作图”更苛刻呢？显然，实心的铜圆连“已知圆的圆心”这个条件都不具备，这铜圆甚至还不能算作已知圆。至此，这个铜圆能做什么，不能做什么，的确是个具有趣味性和挑战性的开放性问题。

三、傅种孙与钱学森的传承关系

　　八十年前的事了，傅先生早以作古，提这事干吗？五十年前，20世纪60年代初，钱学森在中国科技大学给一班学生授课。期末，他给学生出了一道题：建立从地球发射一颗航天器绕太阳飞行一周后再返回地球的数学模型。这班学生都是精选出来的中国航天事业的后备人才，他们做了一上午没人做出来，反而晕倒了几个。中午用餐后接着考，最终无人做出。结果是，这班学生被钱教授延长了半年学业才毕业。（注：这个事是从电视访谈钱学森的秘书涂元季将军的节目中获知的，文字上可能有不准确之处，但事情是确凿的)

　　一位中学数学教师傅种孙，一位世界著名的科学家钱学森，他们都为自己的学生出了一道题，一道绝不平凡的题，精彩而又深刻，都是难得的考题。这之间有什么关系吗？

　　北师大附中是钱学森的中学母校。从1923年到1929年，他在这里度过了6年学习时光。钱学森曾坦陈：在我一生的道路上，有两个高潮，一个是在师大附中，一个是在美国读研究生的时候。师大附中的学习生活对我的教育很深，对我的一生，对我的知识和人生观起了很大的作用。“一个铜圆”和“一个绕日返回地球的航天器”，两道数学题，两个不同的时代，一对师生诠释了什么呢？这当中蕴涵着某个规律，存在着重大的“解”。这个“解”可以说明为什么建国以来培养的人才，尤其是杰出人才，确实不能满足国家的需要；可以解答近几十年来我们的学校为什么总是培养不出杰出的人才来。

　　我们不妨以傅种孙培养出钱学森、闵嗣鹤（中国著名的数学家、北京大学教授、陈景润那篇著名的哥德巴赫猜想论文的审稿人，也曾在北师大附中任数学教师）这样的学生为例，剖析中国数学教育，从根本上揭示问题，求出解来。

四、中国数学教育的问题所在

　　当前中国数学教育究竟存在着什么问题？温总理到北京三十五中学听的那节数学课已经很能说明问题了。传统的初中几何是平面几何，现在的初中数学课本给出的则是平面与立体界限模糊的几何（因为《数学课程标准》不提“几何”二字，所以现在的课本也往往不提“几何”二字），但“三角形全等的判定”的魅力就在于其最佳的运用背景是平面空间。就以风筝为例，将这个具有轴对称特点的实物正投影在平面上后，其对称（全等）关系并不能单纯依靠平面上的平移、旋转这两个动作而使其得到验证，通俗讲就是风筝的左半部分有可能在平面上无论经过什么样的旋转、平移都不会与右半部分重合。这相当于说，在平面上，仅靠平移和旋转无法验证所有的轴对称关系。面对这个问题，先贤们，可能最早的是古希腊先哲泰勒斯归纳出了若干判定三角形全等的要素来解决这个矛盾。这个判定的重要性、必要性就在这里。但从北京三十五中学的这堂数学课看，教师采用了翻折的方法来验证轴对称，用以说明风筝的左右部分是全等的。在三维空间（或称平直的立体空间）通过平移、旋转、翻折这三个动作使两个图形重合，自然也就说明了全等。在立体空间这个背景下，平面上的三角形的全等判定定理显然不那么必须了，因为用三个动作的变换就可以使两个三角形重合，即可说明这两个三角形全等。当然，这种运动性的变换尚需以图形的刚性不变为前提，这也是被现在的课本和教师都忽视的前提。通过报道，我们还看到这堂课用了量角器、圆规、尺子。几何的魅力，几何之能够促使人更智慧的思考，就在于这个系统要求用尽量简单的动作、尽量简单的工具处理并不简单的事物。“三角形全等判定”的魅力就在于其抓住了全等的本质，摆脱了用器具“实际测量”的束缚，这是数学科学的聪明之处。不难看出，我们讲数学课的老师没有讲出数学的聪明，没有讲为什么要有三角形全等判定定理，没有讲明若不用这个判定定理将会发生什么。当然，即使没有明确这些问题或要求，温总理也非常内行地指出：一堂课只教会学生三角形全等的判定，内容显得单薄了一些，还可以再增加一点内容。

　　但令人遗憾的是，相关任课教师在其后的一篇报道中（2009年10月13日新京报A08版），对温总理所指出的问题的认识是：这次总理特别选择了一个中学的普通班，这个班级的学生多数不属于基础很好的学生。因此，课程的容量和讲课速度，都要考虑到这部分学生对于知识的接受能力……我理解，总理所说的增加课的容量，应该就是要求教师们要在注重基础的同时，也要满足不同层次学生的需求。

　　北京三十五中学是区级的示范（重点）校。显然，该教师没有领悟温总理的评析。这不怪这位老师，因为，当前我国的“三角形全等判定”的课都是这样上的。若说有差别那也仅仅是这节课是讲一个判定还是讲三个判定的量上的差别。根据教育部颁布的现行的《数学课程标准》，出自不同出版社的多套教材也大致就是这样编写的。再往大了说，到目前为止，人们还是没有认识到“教育大计   教师为本”的实质性意义。人们问着“我们为什么产生不出世界级的大师？”却不愿意面对答案：我国中小学数学教师队伍缺乏或干脆没有像傅种孙这样的大师级的教师。我们所倡导的、追捧的、培养的数学教师与傅种孙这样的中学数学教师的专业和思想差距越来越大。在上个世纪二三十年代，距中国政府正式引进西方现代中小学数学课程及标准不超过二十年的情况下，我们就已经有了在数学教育思想水平上不输于世界著名数学家克莱因这样的大师级的中学数学教师傅种孙。而只有像这样的一些中学数学教师才能最终培养出钱学森、钱三强、李四光、陈省身、杨振宁、李政道、吴健雄这样的世界级的科学技术大师。

五、以傅种孙为榜样   向教育大师们学习

　　今天的中国数学教育是中国教育的重灾区吗？可以用灾难深重来形容吗？若真是这样，此灾已经影响并正在继续影响着中国人的创新能力。许多知道或了解世界主要科学领域发展状况的有识之士清楚地看到：面对世界科学技术的最高水平，我们与之的差距似乎正在扩大。令人忧心啊!

　　中国的数学教育的根本在于数学教师；在于究竟应该培养什么样的数学教师，提倡什么样的数学教学；在于以怎样的视野、用什么样的话语来讨论数学教育问题。

　　我们就以傅种孙先生为例，来搞清楚一个数学教师究竟应该有什么样的数学根底，对数学知识有什么样的思想认识。以大师为榜样，我们应该如何培养像傅先生这样的中学数学教师，提倡傅先生那样的数学教学？

　　钱学森曾回忆过听傅先生讲课的感想，他说：“听傅老师讲几何课，使我第一次懂得了什么是严谨科学。”一名数学教师通过自己的数学课使一位未来的世界级科学家第一次懂得了什么是严谨科学，这是非常了不起的，也是非常值得后世效仿的。只可惜，我们今天的数学教育或数学教学，有多少人是提倡通过数学课来使学生懂得严谨科学的？当今的数学课本不提倡，数学教学不提倡，甚至我们的数学教育研究也不提倡。现在的数学课提倡学有用的数学，讲究立竿见影，喜欢抛弃本质，而在非本质的形式上打转转、做文章。这使得学生们追求实惠、时髦，即使是学得非常好的，也容易为“实利”所累。话说回来，什么样的数学教师才能使学生懂得并追求严谨科学的规律或要求呢？傅种孙早在1920年前后就已经注意到西方先进的数学科学进展，特别重视与数学教育相关的思想或哲学层面的数学发展状况。例如，数学哲学、数理逻辑、几何基础、集合理论等等。这些领域在当时是十分活跃的，是罗素、怀特海、克莱因、希尔伯特这些大师级数学思想家驰骋的天地，而这些知识涉及的往往是数学原理、数学思想，属于数学科学的哲学思考，对挖掘中小学数学的思想价值、育人价值极有意义。哪怕是最简单的数学对象，例如，1、2、3、……线段、三角形、圆这些最基本的数字和几何图形也具有非常深刻的科学背景或数学思考，简单的知识并不简单。对此，傅先生深入研究过罗素的《算理哲学》，早在1920年就发表过论文《什么是数学》。他将几何研究的先进成果引入我国，翻译、出版了希尔伯特的《几何原理》。他于1931年所著的《高中平面几何教科书》更是风行全国。由此再看傅先生向学生抛出“铜圆几何”，显然绝非偶然。傅先生注重对数学的原理、思想、科学方法、智慧思考的发掘，并将这些思想贯穿于数学教学的始终，使学生从数学学习中获取尽可能多、尽可能大的思想力量。我们就以“比和比例”的教学为例，看看傅先生是如何认识这个教学内容的。他认为教师首先要搞清楚：

　　（一）什么是比？给学生讲比时，若讲码对尺的比，不是用公尺与市尺的关系来打比方，而是应该用三个手指与一个手指的关系作比喻。这就是：用比例说比。

　　（二）什么是比例？两比相等就是比例。这是用比来说比例。

　　搞清楚了（一）和（二），自然就有了：

　　（三）比与比例应该谁先谁后？

　　这个问题是我们现今的数学教师很少会考虑的。课本上也是不会有的，但这又的确是个历史悠久且颇具思想意义的问题，靠学生自主探究或凭空想是想不出来的。首先是教师要有这个问题意识。但是，关于这个问题，现如今的许多数学教师未曾受过相应的数学训练，自然是不会思想到的，更由于教师缺乏对数学的科学认识，因此也就不会把问题（三）当作一回事，学生的发展智慧和提高理性思维能力的学习机会就这样流逝了。傅先生对这个问题有精到且科学的表达，可惜无人去读，更没有被重视，被淹没在历史的尘埃中了。至此我们看到，今天，无论是中小学数学老师还是学生，绝大多数人对数学中的“比与比例的意义”的认识处在表面化是个不争的现实。而实际上问题还远没有完结。傅先生进一步指出：

　　在确立了比的意义之后，继之而来的问题是：

　　（四）什么是量（liǎng）数？量Q的量数是该量对于特定么率（单位）U之比，显然么率不同则量数Q∶U不同，这个问题未曾解决以前，我们又有问题：

　　（五）=

　　（六）能说两量的比即是它们的量数的比吗？

　　傅先生指出，当时（1941年）的教科书都漠视（五）而漫谈（六），这是个缺憾。他不无讥讽地指出：我说的这一切，都是我们教学中所认为不成问题的。幸而学生们都有颜回之风，终日不言，教师才得安然无事，若有子路在座，怕是要不得安宁了。

　　“比和比例”是目前在数学课程中安排的知识，数学教师几乎都曾讲授过，但能按傅先生所指点的，达到由（一）到（六）这样认识的，却极少有。想到一些社会位置有利、能够影响导向和发展的著名的教育学家一再宣扬中小学数学知识浅显，并无值得研究的内容，教师要将力量放在教育思想和教学法上，以致现今的这种教学状况，的确是令人不怪的了。（据观察，这些教育学家又在影响我国教育的“中长期规划”的制定呢，应该警觉此事）客观说，小学与初中数学最丰富的就是其启迪性、思想性，包含了大量的、原始的、具有启蒙科学认识意义的思想。这些思想源于对数学科学中的原问题的研究，是两千多年来由大量一流数学家殚精竭虑的研究、争论而结晶出来的，形成了许多名篇佳作，是提高数学教师专业水平最好的食粮。目前的情况是，这些有价值的知识没有用于培养数学教师，而数学教师们在近几十年的高等或进修教育中学到的往往是被误导、误解的数学教育理论和知识。就如同《红楼梦》里的刘姥姥在大观园里吃了茄子却不知道吃的是茄子，因为茄子已经被大观园里的厨师加工得远离了茄子味，以贾母为代表的大观园的主人们还以此为自豪。试想，连刘姥姥这样的种茄子的人都品不出茄子味了，这样的茄子加工技术还高明吗？

　　现如今，指挥或凌驾于数学教育之上，对数学教育说三道四而不懂得数学之意义的“贾母”太多，权力太大，在他们的好恶下，中小学数学课程已被加工得毫无数学味，充斥了各种各样无意义的、浪费时间的、望文生义的、只能带来误导或误解的各种热闹的、夹带着口号和空想的教学活动，对此，建国六十年来不出大师级英才还有什么可奇怪的？

　　傅先生在指导“扩大数系”的教学时，曾提出：当负数引进时，指出无论是用温度的升降，行程的进退、账项的收付，还是数轴及面积的表达都不是可通的证法。他指出，若理论与实际兼顾教学，则应该：

　　第一，须用一些事例说明自然数不能满足应用，需要扩张。把所得的新数称为正负数，而不规定正负数之意义。

　　第二，须从这些事例概括出正负数在事实上所需要之性质(如关于加、减、乘、除及大小之各种规则)，将其中的基本性质列举出来，承认它们而不加证明。

　　第三，将自然数之重要性质，以正负数拟之，分别同异，以资比较。

　　这里有几点应当注意之处：升降、进退都是我们想拿正负数去代表的事例，而不是正负数……故虽以升降为正负，但不可认升降为正负，此应注意者一也……

　　当前数学教学的现实是什么呢？有上述正负数教学思想的教师少之又少。本人长期责编《中小学数学》，尽阅来稿，其中有关负数的教学讨论、案例很多，但无任何一篇能达到傅先生之认识，而他的认识是科学的、是数学教学的常识，能让学生有这个认识相当于提高了抽象或科学认识事物的能力。这也不怪教师，现在的课本编得相当离谱，为了所谓的情境引入，为了说明数学来源于实际，僵化而又教条地在每章数学教学内容的开始一律强调数学来源于实际，甚至连数学知识课题都被代之以非数学的情境标题，从根本上忽视了作为数学的学习规律。数学作为一门独特的学科，教学时可以先学习掌握数学的真理，即规律，再将规律应用于实际中去。这是数学科学独有的优势。知识可通过逻辑链条以及由浅入深的认知路径顺理成章地学习下去，十分高效。而讲授数学知识来源于实际，只须小学、初中、高中各安排一二节课即可。数学课应该尽量利用逻辑便利，以承前启后的方式将数学新知识揭示给学生，之后再学习或尝试对新知识的应用和发展，这才是数学学习的特点，这样才能发挥数学知识的智慧作用。那种恨不得从“钻木取火”开始去讲学习、认识某个数学知识的办法是极其低效的，是不符合数学学习规律的。以凭空想象为基础的、想当然式的、毫无道理的强调让学生重复数学家或经历数学家的研究过程的口号或要求是思想污染所产生的极大的形而上学垃圾。须知，哪怕是对数字“1”的认识过程也是历经了上万年的人类的思维曲折才发展出来的，这之中既包括有普通人的思想，也有数学工作者的提炼，更有现代数学家的理论概括。一般的宣扬所谓数学家的思考过程，根本上是误导学生，把创新当儿戏不说还难以符合实际，也无法发挥数学科学的培养人的智慧的作用。更何况，缺乏对数学知识深入了解的教师能领会或知道数学家是怎么想的吗？一个数学教师若不具备傅先生那样的思想和认识，他怎么能领会皮亚诺为何要建立自然数公理体系，而不懂得这个公理体系，他又怎么知道数字“1”的数学意义？连数字“1”的意义都不清楚，他能理解“1+1=2”的数学意义吗？教师连这些都不懂，让他教你的孩子，你愿意吗？教师们都不研究基本的数学原理、不研究基本的数学思想，习惯于就坡下驴，听凭教育学家们充满空洞说教的教育原则、任由课程与教学论专家们推广从国外整本抄引的各种教学法、热心于教育心理学家从国外拿来的经不起推敲的各种告诫，唯独不关注数学本身的原理、道理、规律。小学数学教师读了师范专业，却连基本的算术理论都没有学过，这使得小学数学教师职业客观上成了任何人都能干的职业。就中学数学来讲，高等师范毕业的大多数学生又何尝不是这样？中学数学教师，尤其是初中数学教师的职业又何尝不是这样！试问大师能从这样的教育环境中孕育而生吗？我对“教育家办教育”这句话的最大担心是：谁是教育家？近六十年来，许多教育行业内的事都是“教育家”办的，我们的教育产生不出大师就与这些所谓的教育家有关。由此，我还想到“以教师为主导，以学生为主体”这个口号，是既误导了教师，又误导了学生。教师教学可以不讲，谓之“导”，学生上课可以不听，谓之“主”。“主导与主体”的说法在哲学上讲不通，容易引发思想混乱。傅先生和钱先生都是讲课有名的好，一堂课从头讲到尾，没人说这二位是在“满堂灌”。讲就是讲，许多知识不讲，仅靠学生自己是学不到、悟不会、探究不出来的。

　　可能有人会说，傅先生教书的时代实施的是精英教育，现在是大众教育，要求不一样。这是个“高标准高要求好呢，还是低标准低要求好”的简单问题，仅从数学教育思想水平来看，我们今天的最好的数学教师与八十年前的傅先生相比，其专业差距是明显的。在实施大众教育、普及高水平教育的今天，难道不应该以傅先生这等水平的中小学数学教师为标准、为榜样吗？具有标志性的数学教育人才水准不升反降，难道不需要找找原因吗？难道有人喜欢“今不如昔”的现状？

　　最近，围绕我国数学教育的讨论比较多，人们各执一词或两词，公说公有理、婆说婆有理，但不难看出所用词汇、放出的话语、讨论的问题、争论的焦点均像“贾府的茄子”，独独缺少了数学或数学教育本身的味道。数学本是思想极其丰富的科学，历史上古希腊、古罗马的人们曾认为数学就是哲学，哲学就是数学，数学为人类的深入思考和思想解放提供了动力、提供了方法、提供了智慧。数学以最廉价的工具或手段，用无刻度的尺、圆规、笔，高效开发了人脑、发展了科学方法，甚至不用纸、不用笔，只需有根树枝子，坐在地上，就可以让思想驰骋，进行智慧角力。数学是社会和经济成本最低的科学与教育手段，是科学思想的高效培养途径，其应用的广泛性更是无人怀疑的。19世纪下半叶到20世纪初，数学思想、方法、哲学基础处于蓬勃发展的时期，戴德金、康托尔、罗素、希尔伯特、克莱因、怀特海、哥德尔等众多数学思想家都为建立数学的基础而不懈地努力和著述，形成了宝贵的思想结晶，这些思想或认识正是中小学数学教师应该吸收学习或掌握的，像弗雷格的《算术基础》、阿达玛的《数学领域中的发明心理学》、兰道的《分析引论》、牛顿的《自然哲学之数学原理》（读了这本书，你将会体会到，我们现在的《数学课程标准》中将几何学习置于了什么样的可笑地位）、罗素的《数理哲学引论》、菲利克斯·克莱因的《高观点下的初等数学》（克莱因是有深远影响的数学家，这本书是他的助手为其整理出的讲课稿，他热诚献身于数学教育事业，从1886年到1925年在哥廷根一直为中学数学教师讲培训课）等等，都是我们中小学数学教师们应该好好地研读的。傅先生以数学家的睿智，长期从事对中学数学教师的培养，从事中学数学教学。北京师范大学的刘绍学教授（代数学家）、王世强教授（数理逻辑学家）将中国的傅种孙、德国的克莱因、美国的波利亚并列齐名，认为他们为数学教育做出了伟大的贡献，值得敬仰和热爱。王世强教授还殷切希望中国有更多的傅种孙式的数学教师出现。

　　现在的问题是，为什么像傅种孙这样的教师没有像克莱因那样得到褒扬并发扬光大，甚至在中国，在现在，知其者甚少。我们现在并不难列举出一些其他国家的、出色的中小学数学教育研究者，现今的书架上有许多翻译进来的这类名家的著作。但在中国目前却几乎没有这样的从事中小学数学教育的名家，没有人所共知的、为数学界和教育界所公认的中小学数学教育名师。不仅没有，反而是傅种孙的数学教育思想和方法在中国与他本人的经历一样长期沉而未浮，这对于数学教育来说是灾难性的。一个能培养出大师的大师级的数学教育思想、方法居然被长期湮没，太可悲了！现在是，“山中无老虎，猴子当大王”。数学教育领域本来是有一个类似国学中的孔子、孟子那样的先行者、智者的，但这先行者的光芒却没有放射出来，被长期彻底地湮灭了。现在是需要我们挖掘并面对的时候了，否则，中国的数学教育会继续走在培养世界三流、四流科技人才以及高素质廉价劳动力的道路上。

　　据了解，我们有许多具有大师潜质的数学人才在中国读一流大学本科，再到美国读一流大学硕士、博士，然后就到华尔街设计金融衍生交易产品去了，这能为自己挣大钱。这种追求实惠的思想根源与我们从小学开始就受的是学有用的数学的教育有关。我们太过于强调在小学、中学阶段学有用的数学、学实惠的数学、学立竿见影的数学了！这个只为眼前的利益而学习的数学教育是培养不出大师的原因之一。

六、数学教育之“灾”

　　我们在追溯六十年以来的数学教育历史的时候，应该承认，在上世纪50年代，起码由于两个原因，而未使傅先生的数学教育思想和方法得到光大和发扬，这就是对前苏联数学教育的全面学习，以及1957年傅先生被错划成右派。尽管他在50年代初多次为中学数学教师办过讲座，但从当时的中小学数学教材的编写等主流工作上看，少有傅先生的影子，也难见傅先生的思想的渗透。当时，他对数学教育的影响顶多限于北京师范大学的院子内。这是中国数学教育在20世纪50年代的一个令人心痛而永远无法挽回的损失。傅先生从1957年错划右派到1962年辞世，一直在北京师范大学数学系资料室任资料员工作。

　　60年代前半期的中国数学教育产生了“双基”的传统，有的数学家，如华罗庚等人参与了中学数学教材的咨询或主持工作，但就中小学数学教育来讲，华先生自始至终是关心者、热心者、参与者，终非是傅先生那样的专门的、职业的研究和实践者。60年代前半期的中学生是幸运的，他们能够听到或接触到当时的中国的一流数学家或数学工作者的讲座以及在讲座的基础上整理出来的小册子。华罗庚的多次讲座以及由其主持倡导的数学竞赛甚至蕴育出了中国上个世纪80年代的一批有能力走向世界的出色的科学技术工作者或数学家。但当时的中小学校的数学教育水平，随着大量出色的师资在50年代中期前后被充实到大学去了而有所降低，傅先生的数学教育思想更是不见了踪迹。1949年前，我国的中小学数学师资水平是很高的，有一个事实可以说明这一点。我的一个同事早年从北京大学数学系毕业后到北京四中教数学并担任数学教研组长，而北京四中后来的数学教研组长、特级教师周长生在解放初刚从北京大学物理系毕业到四中教数学。我的这位同事当时交给他一本戴德金的《实数探原》让他读，周长生读了两三年才基本读明白。周长生认为我的这位同事是北京最好的中学数学教师，到今天仍无人可比。这位教师于50年代中期调入了北京师范学院数学系。我听过他讲《数学分析》，感觉他也是类同傅先生那样的教师。他被从四中调走，是北京四中的历史性损失。这位同事名曰王景鹤。上世纪80年代，我曾亲耳听到美籍著名数理逻辑学家王浩说：在中学读书时，王景鹤是他的同学，比他读得好，也比他聪明。有这样棒的数学教师，北京四中在1950年前后的确培养出了一些出色的人才。说到这儿，我们怎能不为中国旧时的中学数学教师的专业水准而惊叹！

　　60年代下半期及至70年代整个时期，就数学教育来讲，大环境所致，与国家状态同步。70年代后期属于教育恢复期，恢复的水平与当时的“小升初、初升高、高升大”相对应，数学教育开始非常功利地为考试服务。“题海战术”在上世纪70年代后期出现了。

　　上世纪80年代，随着国门对外打开，各种各样的西方思想、意识、研究成果被引入中国。追求先进的数学教育理念、了解最新的数学教育方法，成为当时中国数学教育界最为关注或重视的事情。可以说，我们对外来事物的吸收及加工能力是绝无仅有的。以美国心理学家、教育学家布卢姆（B·S·Bloom）的《教育目标分类体系》（1956年发表）被引入中国为例，其识记、理解、应用、分析、综合、评价本来是其学术上的一个认识，其科学性、合理性尚待实验上的证明。并且，近二十年来，随着实验心理学、分子生物学的发展，人类对认知领域有了许多新的认识，且处在不断的发展中，每日都有新成果、新发现。但中国的一些教育工作者在当时很快就将布卢姆的学说转化成了“生产力”，大量的“目标检测”“掌握指导”式的习题集、练习册、作业本充斥国内所有的课堂，泛滥成灾，成了世界独有的一道风景。中国数学教育开始被与出版相关的利益机制所左右。教师因有现成的课本、现成的练习册、统一的教学指导而在数学专业认识上不进反退。当他们把课本上的知识教给学生后，就不再比学生多知道什么了。教师连命制题目的热情都不必有了，现成的练习册、作业本、考卷及标准答案替代了数学教师的专业思考。在布卢姆分类指导的影响下，中小学生成了规格产品，课堂教学、课外练习被固化成若干道工序，数学教师不必对数学知识本身有什么深入的认识和思考，学校教育规律如同饲养场的家畜蓄栏标准，从入学到毕业，一律都是是规格教育。令人庆幸的是也有例外，这就是随着华罗庚倡导的全国数学竞赛在80年代得到恢复，中国开始组织代表队参加国际数学奥林匹克，校外数学教育机构兴起，数学工作者或数学家有机会通过这些机构直接给中学生授课，一些有天赋的学生得以在规格培养之外得到特殊的学习机会。这些孩子现在正在国内外的各个领域初现实力。

　　上世纪80年代，中国数学教育被种下了影响中国发展的今生和来世的苦果。当时高等院校学科建设兴起，学位制度得到恢复或建立，但遗憾的是，作为我国中小学数学教育的传统领头单位的北京师范大学数学系没能担起对数学教育的关键责任（须知，在国际数学科学领域中，数学教育是其下八十多个分支科学之一，许多一流的、重要的数学家为这个学科的发展做出了重大贡献），这在某种程度上背离了傅先生为之奋斗而形成的引领中小学数学教育的师大数学教育传统。他们除了未能负责任地将数学教育作为基础数学下的二级学科外，也拒绝争取将数学教育学作为一级学科来发展，从而种下了影响国家长远发展大局（也包括中国数学科学的发展）的祸根。

　　从此，数学教育科学落入“课程与教学论”中的一个括弧内，被套住了，有了个说不明、道不清、指向存疑的学科名称———和物理、化学、外语等基础教育学科共用一个学科分类叫“学科教学论”，在“课程与教学论”中被当作旁门左道，颁授的学位属于教育学，只能培养教育学方向的硕士生。从此，数学教育逐渐变得没有了自己的话语，“课程与教学论”作为一级学科，最警剔的事就是给强调数学教育重要的人扣上“学科本位主义”的帽子。数学教育真正变成了“贾府的茄子”，背离了数学科学及其教育的固有的规律或精神。多年来，数学教育只能看教育学的脸色行事。人们都知道，在我国，甚至在世界上，教育学离科学化的程度还差着十万八千里，其所形成的一些主要结论还离不开经验总结，而教育方面的经验是人人都有的，在经验基础上形成的认识远非是科学的，起码应该经过哲学上的概括和实验的检验，而这正是中国教育学的软肋。大学或高师的教育学系长期以来以培养中小学教师或教育行业的从业人员为己任，这从各大学的教育学系的专业课程设置上可以看出，这个学科对数学教育的性质和规律尚处于基本无知的阶段。仅仅因为北京师范大学数学系80年代初在学科建设上的决断而使得数学教育长期受“知识不重要，能力才是重要”的教育思想的控制，使得大量第一线的数学教师轻视对数学知识的学习、研究，这种情况已经严重到了令人吃惊的地步。同时，数学界也因此远离了中小学数学教育，对中小学数学教育基本上没有什么说话的机会。上个世纪50年代，华罗庚、陈建功（中科院学部委员）等数学科学的领头人物在中小学数学教育领域尚有些影响力，60年代初华罗庚等数学家还能参与中小学数学教材编写、修订的工作，还能写一些供中小学生阅读的数学小册子。80年代开始，数学工作者或数学家与数学教育是渐行渐远，他们一般只能通过数学奥林匹克这个途径来影响中小学生、来影响中小学数学师资队伍。他们在由行政机关组织的师资培训、教材编写、大纲或标准的制定方面基本上没有参与权或决策权。当然，也有个别的数学工作者参与其中，但那都是被“精心”选择的，不具代表性。从事中小学数学教育的高校教师的学术评价或论文发表处在基础数学不认可，课程与教学论不重视的境地。中国数学家除了少数者，如姜伯驹（北京大学教授、中科院学部委员）、丁石孙（北京大学教授）、李忠（北京大学教授）等翻译了一些国外的数学普及读物外，几乎很少有人为中学师生写读物。除张景中（中科院院士）有几部为人知，但少有人读的（因考试用不上）作品，武汉大学齐民友教授等翻译过一些西方的数学教育名著外，近十几年来中国数学教育工作者中少有人创作高水平的供中小学师生阅读的介绍数学思想或方法的读物。有人说国外的数学教育不如中国，但仅从零星翻译来的数学教育读物来看，国外，像美国、俄罗斯、日本、韩国等，每年都有大量的、高水平的由数学家撰写的数学普及读物问世，中学生甚至有机会接触、了解最新的数学研究成果。这些在我国却成了长达二十年的空白，能站住脚的数学普及读物还是华罗庚、张景中等少数数学家写的那些小册子（也没什么人读）。

　　数学教育学沦为“课程与教学论”这个一级学科下的二级学科的一部分，这对中国的数学教育，对中国人的科学素质的培养是个灾难，这个灾难的影响是长远的：近的，影响到了数学课程标准的制定；远的，培养大师级人才的可能性将微乎其微。这是一个严重的历史倒退。在还没有“课程与教学论”这个学科时，1963年，北师大数学系就招收了数学教育学研究生。当时招收了3名，由著名的数学家关肇直（中科院学部委员）、罗劲柏（中宣部科学处）、丁尔陞（数学教育学家）指导。足见，当时党和国家对数学教育是重视的。最近，首都师范大学数学科学学院和南京师范大学数学科学学院将数学教育置于基础数学的二级学科是一个使事情朝着积极方向发展的努力。当前，中小学数学教师的关键问题是对数学本身的认识十分浅显，不能充分发挥数学的科学的育人功能。但目前的教师进修、提高以及教育硕士的培养、数学教师的职业资格认定等，还都是以教育学或课程与教学论的要求为准，数学教育离数学太远，数学教育的课题也离数学太远，这都是急需解决的问题。

　　总之，数学教师是培养国人科学素质的关键因素，是培养世界科学技术或其他领域顶尖人才的不可少的前提条件。以数学教师的专业发展为本，促使数学教育的水平达到傅种孙先生那样的水平，是包括政府在内的方方面面都需努力的根本方向。